圆的方程及应用
教学目标
1．使学生掌握圆的标准方程，能根据所给有关圆心和半径的具体条件，准
确写出圆的标准方程，并能由所给圆的方程正确地求出圆心和半径，通过圆的
标准方程的推导，培养学生分析问题和解决问题的能力．
2．掌握圆的一般方程的特点，能将圆的一般方程化为圆的标准方程，从而
求出圆心坐标和圆的半径．
3．理解掌握圆与直线及其它圆锥曲线图形与方程之间的关系，能根据图形
特点，写出曲线方程之间的关系；能根据代数方程，画出曲线与曲线之间的各
种图形，有利于问题的简化，达到解题的目的．
4．努力学会充分利用平面几何中有关圆的性质和定理解题，要充分利用数
形结合的思想和方程的思想，由图形来探索解题的方法．
重点难点
1．圆的标准方程和一般方程的特点，根据具体题目条件，选用圆的一般方
程解决问题．
2．直线和圆的各种位置关系，重点掌握直线与圆相切的有关问题．
3．难点是如何适当的利用平面几何中圆的有关性质和定理解题．虽然解析
几何中讨论圆的问题主要是利用代数方程，但灵活应用平面几何中的有关定理
在有些时候对解题会有很大的帮助，这一点在复习圆及有关问题时应予以足够
的重视．
教学过程
圆是大家很熟悉的特殊的二次曲线，用坐标法，从圆的特征性质导出圆的
方程，再通过圆的方程来研究与圆有关的问题．由于圆的特殊性和其广泛的应
用，所以在复习圆的过程中应着重掌握好以下几个方面的问题．
1．圆的方程的各种情况及其应用；
2．圆的切线方程；
3．有关圆的轨迹问题；
4．直线与圆结合的应用问题．
例题部分
例 1 求圆心在直线4x+y=0上，且与直线x+y-1=0切于点P(3，-2)的圆
的方程．
分析 由于已知条件涉及到圆的圆心和半径，所以设所求圆的方程为：
(x-a)2+(y-b)2=R2，根据题意，则有以下方程组成立
评述 这是一道典型的例题，它充分体现了点在曲线上，点的坐标满足
曲线方程的主导思想；圆的半径由点到切线的距离来描述，圆心由它所适合的
方程组来决定，本题实际上给出了确定圆的方程的基本方法．前面已经提到了
复习圆这一节时要充分利用圆的有关平面几何的性质和定理，如能考虑到这一
点，本题的解法则可能会更简单：如图1，设所求圆的圆心为C，则PC垂直于
直线x+y-1=0，
例 2 已知经过点A(0，1)和点B(4，a)，且与x轴相切的圆只有一个，
求此时a的值及相应的圆的方程．
分析 因为该圆与x轴相切，故圆心纵坐标的绝对值即为该圆的半径，
所以用圆的标准方程解本题．
解 因为所求圆与x轴相切．所以可设所求圆的方程为(x-x0)2+(y-
y0)2=y02．
因为A(0，1)，B(4，a)在圆上，所以
消去y0，得
(x0-4)2+a2=a(x02+1)
即 (1-a)x02-8x0+(a2-a+16)=0．
③
(2)当 a≠1时，若适合题意的圆只有一个，方程③必须有二等根，即有
Δ=b2-4ac=0．得64+4(a-1)(a2-a+16)=0，整理该方程有a[(a-1)2+16]=0，
评述 本题的特点是由数形结合的思想出发，画出草图，做出定量分析，
在此基础上建立与题意相适应的代数方程，并通过解方程组使问题得到解决．
例 3 已知抛物线y2=2px(p＞0)的内接三角形的一个顶点在原点，三边
上的高线都通过焦点 F，求此三角形的外接圆方程．
分析 先求三角形另两个顶点A，B的坐标，再求过 O，A，B三点的圆的
方程．
解 如图(2)所示，设△OAB为抛物线y2=2px的内接三角形，AD，
因为 OA⊥BE，所以 KOA·KBE=-1，即
例 4 求过点P(2，4)向圆(x-1)2+(y+3)2=1所引的切线方程．
解 因为(2-1)2+(4+3)2=50＞1，所以点P(2，4)在圆(x-1)2+(y+3)2=1
的外部．
4=k(x-2)．①
把①代入圆的方程得(x-1)2+[k(x-2)+4+3]2=1，即
(1+k2)x2-(4k2-14k+2)x+4k2-28k+49=0，
其判别式Δ=56k-192．
的一条切线的方程．
因为圆心(1，-3)到该直线的距离 d=1，所以x=2是所求的另一条切线方程．
综合(1)、(2)，所求的两条切线方程是x=2和 24x-7y-20=0．
评述 在解决这类问题的时候，一定要注意两点，第一是先判断点
P(2，4)与圆的位置关系，点P(2，4)必须在圆上或圆外才有解，第二要考虑斜
率k不存在的情况，以免漏解．这样考虑问题较细致，但计算量相应较大，如
能利用平面几何中圆的切线定义，根据圆心到切线的距离等于圆的半径这一点，
则计算量相应减少，解法简化．
由圆心为(1，-3)，半径R=1，将切线方程改写成直线的一般形式在的特殊
情况x=2，这样就可得两条切线方程．
例 5 求经过点A(4，-1)，且与已知圆C：(x+1)2+(y-3)2=5相外切于点
B(1，2)的圆的方程．
解 如图3，设所求的圆C′的方程为(x-a)2+(y-b)2=R2．因为C′既在
弦 AB的垂直平分线上，又在直线BC上，AB中垂线方程为3x-y-6=0，BC所在直
线的方程为x+2y-5=0，所以圆心C′的坐标应满足方程组
解 得a=3，b=1．
因为所求圆C′过点A(4，-1)，所以
(4-3)2+(-1-1)2=R2=5．
所以所求圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=5．
评述 确定一个圆的方程主要是两个数据：圆心和半径．本题解决的关
键是要确定圆心C′的位置，C′一确定，半径即为|C′A|．由已知条件得出C
′满足的条件有两个，一是C′在线段 AB的垂直平分线上；二是圆C和C′相
外切，C′一定在直线CB上，由此建立(a，b)所满足的方程组，问题即可得解．
例 6 已知与圆C：x2+y2-2x-2y+1=0，相切的直线 l交 x轴、y轴分别于
A，B点，设 O为原点，|OA|=a，|OB|=b(a＞2，b＞2)．
(1)求证圆C与直线 l相切的充要条件是(a-2)(b-2)=2；
(2)求线段 AB中点的轨迹方程；
(3)求△AOB面积的最小值．
解 (1)因为 l与圆心相切，且a＞2，b＞2，所以可设直线 l的方
评述 讲解本题的目的，是为了锻炼学生解决综合题的能力，其中第(1)
小题被反复应用多次，特别是(3)建立在(1)的基础上的恒等变形技巧值得借鉴．
例 7 AB为定圆的直径，C为该圆上异于A，B的任一点，l为过C点的圆
的切线，过B引 BP⊥l，且交 AC的延长线于P，求点P的轨迹．
解法一 如图4所示，以圆心 O为原点，AB所在的直线为x轴，建立坐
标系，则定圆方程为x2+y2=r2．
(因为C是动点，点P因点C动而动，故可)设P点坐标为(x，y)，C点坐标
为(x1，y1)．(P点是直线AC，BP的交点，所以P点受直线AP和 BP的制约，因
此建立直线AP与 BP的方程，来确定P点与C点坐标之间的关系式．)
因为C点不与点A，B重合，所以y1≠0，由过C点的切线 l的方程为
x1x+y1y=r2，直线BP⊥l，所以y1x-x1y-y1r=0①，点P在直线AC
=r2，即(x-r)2+y2=4r2(y≠0)即为所求P点的轨迹方程，其轨迹要除去x轴上
的两个点．
评述 本题特点是动点P随着相关点C的运动而运动，如果能用动点P的
坐标(x，y)，表示相关点C的坐标(x1，y1)，则按照相关点C所满足的条件列
出方程，就能得动点P的轨迹方程．这种方法通常称为相关点法，在解析几何
中经常用到，应给予足够的重视．
解法二 因为BP⊥l，OC⊥l，所以 OC∥BP．因此|BP|=2|OC|=2r．
这说明当点C运动时，动点P距定点B的距离总等于常数2r．根据定义可
得到：P点轨迹是以点B(r，0)为圆心，以2r为半径的圆．因为C点不与A，B
点重合，所以y≠0，所以点P的轨迹方程为(x-r)2+y2=4r2(y≠0)．
例 8 从直线x=-2上一动点P向圆x2+y2=1引两条切线，求以两切点为
端点的弦 AB的中点 M的轨迹方程．
分析 如图 5，本题解决的思路是如何建立起切点弦 AB所在直线的方程．
如图所示，OP⊥AB，由 kOP·kAB=-1，即可得出PO，AB交点 M的轨迹方程．
解 在直线x=-2上任取一点P(-2，y′)，过P引圆的两条切线
PA，PB，A，B为两切点．设A，B点的坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，AB
y2y=1．
因为P点在两条切线上，所以
-2x1+y′y1=1，-2x2+y′y2=1．
根据上式知点A，B的坐标满足方程-2x+y′y=1．
即切点弦 AB所在直线的方程为2x-y′y+1=0，点 M在直线AB上，所以
因为PM⊥AB，所以 kPM·kAB=-1，因此
即方程2x2+2y2+x=0[除去(0，0)]是两直线交点 M的轨迹方程．
评述 切点弦 AB所在直线的方程是由认真分析动点P所满足的两个方程
得到的，不同于一般直接求直线方程的方法，这种方法值得重视．
例 9 一动圆过定点(c，0)且与定圆(x+c)2+y2=4a2(a＞0，c＞0)相切，
求动圆圆心的轨迹方程．
解 设 F2(c，0)，F1(-c，0)，即 F2是已知定点，F1是已知定圆的圆心，
动圆圆心P(x，y)，由于 F2与定圆 F1有三种位置关系，所以分三种情况讨论．
(1)F2在定圆 F1的内部，即c＜a时动圆P只能与定圆 F1内切，所
(2)F2在定圆 F1上，即c=a时动圆P与定圆相切于定点 F2，轨迹方程为直
线y=0除点 F2，F1．
(3)F2在定圆 F1外，即c＞a时，若动圆P与定圆 F1外切，则有|PF1|-|
PF2|=2a；若动圆P与定圆 F1内切，则有|PF2|-|PF1|=2a，所以应有
评述 本题关键是要搞清楚F2与定圆 F1的三种位置关系，应用数形结
合的思想建立其轨迹方程．
例 10 若实数x，y满足方程x2+y2-2x+4y=0，试求x-2y的最大值和最
小值．
分析 如果把方程x2+y2-2x+4y=0变形为(x-1)2+(y+2)2=5，可知方程
式 x-2y的值，就可看作是直线x-2y=t与x轴交点P(t，0)的横坐标．由于
直线x-2y=t的斜率是定值，显然当直线x-2y=t与已知圆相切时，t有最大值或
最小值，基于上述分析 ，采用以下解法一．
解法一 将已知方程整理为(x-1)2+(y+2)2=5，即知它表示圆心为 O
所以x-2y的最大值为10，最小值为0．
解法二 因为x2+y2-2x+4y=0，所以
(x-1)2+(y+2)2=5．
当 sin( -α)=1时，x-2y的最大值为10；
当 sin( -α)=-1时，x-2y的最小值为0．
评述 本题的解法二是利用了圆的参数方程，将式子 x-2y转化为角α
的函数，然后利用正弦、余弦函数的有界性来求出x-2y的最大值和最小值．
的截距．从数形结合的思想来研究，如图6所示，动点(x，y)既在圆上又在直
线系上，因此这些平行线在y轴上截距的最大值与最小值恰好是这族平行线中
与圆相切的切线的截距．利用圆心到切线距离等于半径，来确定b的值．
所以x-2y的最大值为10，最小值为0．
最小值．
解 问题即求圆(x-3)2+(y-3)2=6上的点与原点 O连线的斜率的最大值和
最小值，根据数形结合的思想，容易得到过原点的圆的两条切线的斜率即为所
求．
设切线为y=kx代入圆的方程中有(1+k2)x2-6(1+k)x+12=0．因为直线
例 12 已知圆 M的方程(x-3)2+(y-4)2=4和两点A(-1，0)，B(1，0)．在
圆上求一点P，使|AP|2+|BP|2取得最小值．
解 如图 7所示，根据三角形的中线公式有|AP|2+|BP|2=2|OP|2+2|OB|
2=2|OP|2+2，所以当|OP|2取得最小值时，|AP|2+|BP|2也取得最小值．根据平
面几何知识知，线段OM与圆的交点P
评述 本题解决的思路主要是根据平面几何中有关知识，代数计算问题
比较简单．因此在解决有关圆的问题时，应重视平面几何中的有关性质和定理，
要充分利用．
能力训练
1．A=C≠0，B=0是方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的
[ ]
A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又非必要条件
2．方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则a的取值范围是
[ ]
3．两圆C1：x2+y2+4x-4y+7=0，C2：x2+y2-4x-10y+13=0的公切线有
[ ]
A．2条 B．3条
C．4条 D．以上都不是
条直线的方程是
[ ]
C．x=-3 D．x=-3或 3x+4y+15=0
6．圆C1：x2+y2-2x-6y+9=0关于直线x-y-1=0对称的曲线方程为
[ ]
A．x2+y2+2x+6y+9=0 B．x2+y2-6x-2y+9=0
C．x2+y2-8x+15=0 D．x2+y2-8x-15=0
8．直线ax+by+c=0与圆x2+y2=1有两个交点，则a，b，c应满足的关系是
[ ]
A．a2+b2≤c2 B．a2+b2＜c2
C．a2+b2≥c2 D．a2+b2＞c2
9．圆x2+y2-4x+4y+6=0截直线x-y-5=0所得的弦长等于
[ ]
C．1 D．5
10．和x轴相切并和圆x2+y2=1外切的圆心轨迹方程为
[ ]
A．x2=2y+1 B．x2=1-2y
C．x2=2|y|+1 D．x2=2y-1
11．圆心在抛物线y2=8-4x的顶点，且与其准线相切的圆的方程为______．
13．圆(x-3)2+(y-3)2=32上到直线3x+4y-11=0的距离等于1的点的个数是
______．
14．若 m∈R，圆x2+y2+2mx-my-25=0恒过两个定点，它们的坐标是______．
范围是______．
16．一圆过圆x2+y2-2x=0与直线x+2y-3=0的交点，且圆心在y轴上，则
这个圆的方程是______．
17．圆x2+y2=16上的点到直线x-y=8的距离的最小值是______．
18．斜率为1的圆x2+y2=4的一组平行弦的中点轨迹是______．
19．已知圆的方程为(x-1)2+y2=1，过原点 O作圆的任意弦，则这些弦的中
点 M的轨迹方程是______．
20．动圆与x轴相切，且被直线y=x所截得的弦长为定值2，则动圆圆心的
轨迹方程为______．
答案提示
1．B 2．D 3．B 4．D 5．D
6．C 7．D 8．D 9．A 10．C
11．(x-2)2+y2=1
13．3
15．(-∞，0)∪(0，+∞)
16．x2+y2+4y-6=0
18．y=-x在圆内的部分
20．x2-2xy-y2+2=0
设计说明
准备圆的复习课时，我考虑重点应突出两点．第一是数形结合思想方法的
体现，如例 9、例10、例11、例12．第二应重视平面几何中有关圆的定理的应用．
如例1的另一解法，例4的另一解法，例 9、例10的处理方法．在解决圆这一部
分问题时，不急于先列代数方程，仔细审题，根据条件尽量画出满足或接近题
设条件的图形加以分析，最终确定最简单的解法．
/7
