分类计数原理和分步计数原理教案 1
教学目标
正确理解和掌握分类计数原理和分步计数原理，并能准确地应用它们分析
和解决一些简单的问题，从而发展学生的思维能力，培养学生分析问题和解决
问题的能力．
教学重点和难点
重点：分类计数原理和分步计数原理．
难点：分类计数原理和分步计数原理的准确应用．
教学用具
投影仪．
教学过程设计
(一)引入新课
师：从本节课开始，我们将要学习中学代数内容中一个独特的部分——排
列、组合、二项式定理．它们研究对象独特，研究问题的方法不同一般．虽然份
量不多，但是与旧知识的联系很少，而且它还是我们今后学习概率论的基础，
统计学、运筹学以及生物的选种等都与它直接有关．至于在日常的工作、生活上
只要涉及安排调配的问题，就离不开它．
今天我们先学习两个基本原理．
(这是排列、组合、二项式定理的第一节课，是起始课．讲起始课时，把这一
学科的内容作一个大概的介绍，能使学生从一开始就对将要学习的知识有一个
初步的了解，并为下面的学习研究打下思想基础)
师：(板书课题)
(二)讲授新课
1．介绍两个基本原理
师：请大家先考虑下面的问题(找出片子——问题1)．
问题1：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船．一
天中，火车有4个班次，汽车有2个班次，轮船有3个班次．那么一天中乘坐
这些交通工具从甲地到乙地，共有多少种不同的走法？
师：(启发学生回答后，作补充说明)
因为一天中乘火车有4种走法，乘汽车有2种走法，乘轮船有3种走法，
每种走法都可以完成由甲地到乙地这件事情．所以，一天中乘坐这些交通工具
从甲地到乙地共有
4＋2＋3=9
种不同的走法．
这个问题可以总结为下面的一个基本原理．
(打出片子——分类计数原理)
分类计数原理：做一件事，完成它可以有几类办法，在第一类办法中有m1
种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有
mn种不同的方法．那么，完成这件事共有N=m1＋m2＋…＋mn种不同的方法．
(教师放慢速度读一遍分类计数原理)
师：请大家再来考虑下面的问题(打出片子——问题2)．
问题2：由A村去B村的道路有3条，由B村去 C村的道路有2条(见图 9－
1)，从A村经 B村去 C村，共有多少种不同的走法？
师：(启发学生回答后加以说明)
这里，从A村到B村，有3种不同的走法，按这3种走法中的每一种走法到
达 B村后，再从B村到 C村又各有2种不同的走法，因此，从A村经 B村去 C村
共有3×2=6种不同的走法．
一般地，有如下基本原理：
(找出片子——分步计数原理)
分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不
同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法．
那么，完成这件事共有
N＝m1×m2×…×mn
种不同的方法．
(教师要读一遍分步计数原理)
2．浅释两个基本原理
师：两个基本原理是干什么用的呢？
生：计算做一件事完成它的所有不同的方法种数．
(如果学生不能较准确地回答，教师可以加以提示)
师：比较两个基本原理，想一想，它们有什么区别呢？
(学生经过思考后可以得出：各类的方法数相加，各步的方法数相乘．)
两个基本原理的区别在于：一个与分类有关，一个与分步有关．
师：请看下面的分析是否正确．
(打出片子——题1，题2)
题1：找1～10这10个数中的所有合数．第一类办法是找含因数2的合数，
共有4个；第二类办法是找含因数3的合数，共有2个；第三类办法是找含因
数 5的合数，共有1个．
1～10中一共有N=4＋2＋1=7个合数．
题2：在前面的问题2中，步行从A村到B村的北路需要 8时，中路需要4
时，南路需要 6时，B村到 C村的北路需要 5时，南路需要3时，要求步行从A
村到 C村的总时数不超过12时，共有多少种不同的走法？
第一步从A村到B村有3种走法，第二步从B村到 C村有2种走法，共有
N=3×2=6种不同走法．
生乙：从A村到 C村总时数不超过12时的走法共有 5种．题2中从A村走
北路到B村后再到 C村，只有南路这一种走法．
(此时给出题1和题2的目的是为了引导学生找出应用两个基本原理的注意
事项，这样安排，不但可以使学生对两个基本原理的理解更深刻，而且还可以
培养学生的学习能力)
师：为什么会出现错误呢？
生：题1的分类可能有问题吧，题2都走北路不符合要求．
师：(教师归纳)
进行分类时，要求各类办法彼此之间是相互排斥的，不论哪一类办法中的
哪一种方法，都能单独完成这件事．只有满足这个条件，才能直接用分类计数
原理，否则不可以．
如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不可缺少，需要依次完成所
有步骤才能完成这件事，而各步要求相互独立，即相对于前一步的每一种方法，
下一步都有m种不同的方法，那么计算完成这件事的方法数时，就可以直接应
用分步计数原理．
也就是说：类类互斥，步步独立．
(在学生对问题的分析不是很清楚时，教师及时地归纳小结，能使学生在应
用两个基本原理时，思路进一步清晰和明确，不再简单地认为什么样的分类都
可以直接用加法，只要分步而不管是否相互联系就用乘法．从而深入理解两个
基本原理中分类、分步的真正含义和实质)
(三)应用举例
师：现在我们已经有了两个基本原理，我们可以用它们来解决一些简单问
题了．请看例题1．(板书)
例 1书架上放有3本不同的数学书，5本不同的语文书，6本不同的英语书．
(1)若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？
(2)若从这些书中，取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法
(3)若从这些书中取不同的科目的书两本，有多少种不同的取法？
(让学生思考，要求依据两个基本原理写出这3个问题的答案及理由，教师
巡视指导，并适时口述解法)
师：(1)从书架上任取一本书，可以有3类办法：第一类办法是从3本不同
数学书中任取 1本，有3种方法；第二类办法是从 5本不同的语文书中任取 1本，
有 5种方法；第三类办法是从 6本不同的英语书中任取一本，有 6种方法．根
据分类计数原理，得到的取法种数是
N=m1＋m2＋m3＝3＋5＋6＝14．
故从书架上任取一本书的不同取法有14种．
师：(2)从书架上任取数学书、语文书、英语书各 1本，需要分成三个步骤完
成，第一步取 1本数学书，有3种方法；第二步取 1本语文书，有 5种方法；第
三步取 1本英语书，有 6种方法．根据分步计数原理，得到不同的取法种数是
N＝m1×m2×m3＝3×5×6＝90．
故，从书架上取数学书、语文书、英语书各 1本，有90种不同的方法．
师：(3)从书架上任取不同科目的书两本，可以有3类办法：第一类办法是
数学书、语文书各取 1本，需要分两个步骤，有3×5种方法；第二类办法是数
学书、英语书各取 1本，需要分两个步骤，有3×6种方法；第三类办法是语文
书、英语书各取 1本，有 5×6种方法．一共得到不同的取法种数是
N=3×5＋3×6＋5×6=63．
即，从书架任取不同科目的书两本的不同取法有 63种．
师：请大家再来分析和解决例题2．
(板书)
例 2由数字0，1，2，3，4可以组成多少个三位整数(各位上的数字允许重
复)？
师：每一个三位整数是由什么构成的呢？
生：三个整数字．
师：023是一个三位整数吗？
生：不是，百位上不能是 0．
师：对！百位的数字不能是 0，也就是说，一个三位整数是由百位、十位、
个位三位数字组成的，其中最高位不能是 0．那么要组成一个三位数需要怎么
做呢？
生：分成三个步骤来完成：第一步确定百位上的数字；第二步确定十位上
的数字；第三步确定个位上的数字．
师：很好！怎样表述呢？
(教师巡视指导、并归纳)
解：要组成一个三位数，需要分成三个步骤：第一步确定百位上的数字，
从1～4这 4个数字中任选一个数字，有4种选法；第二步确定十位上的数字，
由于数字允许重复，共有 5种选法；第三步确定个位上的数字，仍有 5种选法．
根据分步计数原理，得到可以组成的三位整数的个数是N=4×5×5=100．
答：可以组成100个三位整数．
(教师的连续发问、启发、引导，帮助学生找到正确的解题思路和计算方法，
使学生的分析问题能力有所提高．
教师在第二个例题中给出板书示范，能帮助学生进一步加深对两个基本原
理实质的理解，周密的考虑，准确的表达、规范的书写，对于学生周密思考、准
确表达、规范书写良好习惯的形成有着积极的促进作用，也可以为学生后面应用
两个基本原理解排列、组合综合题打下基础)
(四)归纳小结
师：什么时候用分类计数原理、什么时候用分步计数原理呢？
生：分类时用分类计数原理，分步时用分步计数原理．
师：应用两个基本原理时需要注意什么呢？
生：分类时要求各类办法彼此之间相互排斥；分步时要求各步是相互独立
的．
(五)课堂练习
P222：练习1～4．
(对于题4，教师有必要对三个多项式乘积展开后各项的构成给以提示)
(六)布置作业
P222：练习 5，6，7．
补充题：
1．在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的共有多少个？
(提示：按十位上数字的大小可以分为9类，共有9＋8＋7＋…＋2＋1=45
个个位数字小于十位数字的两位数)
2．某学生填报高考志愿，有m个不同的志愿可供选择，若只能按第一、二、
三志愿依次填写 3个不同的志愿，求该生填写志愿的方式的种数．
(提示：需要按三个志愿分成三步．共有m(m－1)(m－2)种填写方式)
3．在所有的三位数中，有且只有两个数字相同的三位数共有多少个？
(提示：可以用下面方法来求解：(1)△△□，(2)△□△，(3)□△□，
(1)，(2)，(3)类中每类都是9×9种，共有9×9＋9×9＋9×9=3×9×9=243个
只有两个数字相同的三位数)
4．某小组有10人，每人至少会英语和日语中的一门，其中 8人会英语，5
人会日语，(1)从中任选一个会外语的人，有多少种选法？(2)从中选出会英语
与会日语的各 1人，有多少种不同的选法？
(提示：由于 8＋5=13＞10，所以10人中必有3人既会英语又会日语．
(1)N=5＋2＋3；(2)N=5×2＋5×3＋2×3)
课堂教学设计说明
两个基本原理一课是排列、组合、二项式定理的开头课，学习它所需的先行
知识跟学生已熟知的数学知识联系很少，通常教师们或者感觉很简单，一带而
过；或者感觉难以开头．中学数学课程中引进的关于排列、组合的计算公式都是
以分步计数原理为基础的，而一些较复杂的排列、组合应用题的求解，更是离不
开两个基本原理，因此必须使学生学会正确地使用两个基本原理，学会正确地
使用这两个基本原理是这一章教学中必须抓住的一个关键．所以在教学目标中
特别提出要使学生学会准确地应用两个基本原理分析和解决一些简单的问题．
对于学生陌生的知识，在开头课中首先作一个大概的介绍，使学生有一个大致
的了解是十分必要的．基于这一想法，在引入新课时，首先是把这一章将要学
习的内容，以及与其它科目的关系做了介绍，同时也引入了课题．
正确使用两个基本原理的前提是要学生清楚两个基本原理使用的条件．而
原理中提到的分步和分类，学生不是一下子就能理解深刻的，这就需要教师引
导学生，帮助他们分析，找到分类和分步的具体要求——类类互斥，步步独立．
教学过程中的题1和题2，就是为了解决这一问题而提出的．
分类用分类计数原理，分步用分步计数原理，单纯这点学生是容易理解的，
问题在于怎样合理地进行分类、分步，特别是在分类时必须做到既不重复，又不
遗漏，找到分步的方法有时是比较困难的，这就要着重进行训练．教学中给出
了例题1、例题2．这两个题目都是在课本例题的基础上稍加改动过的，目的就
是要帮助学生发展思维能力，培养学生周密思考、细心分析的良好习惯．为了帮
助学生在今后能正确运用两个基本原理解决其它排列组合问题，特别给出了4
个补充习题，为下面将要进行的课打下一个基础．
考虑到这节课无论是两个基本原理，还是例题都是文字较多的，因此特别
设计了使用教具——投影仪．要是有实物投影仪那就更方便了．
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