函数的极大值和极小值教案 1
教学目的
1．使学生掌握函数极大值与极小值的概念．
2．使学生初步掌握可导函数的极值判别法则和步骤．
教学重点
可导函数的极值的判定、极值点和驻点的区别和联系．
教学过程
一、新课
1．新课引入．
在前一节中，我们以导数为工具研究了函数的单调性，现在我们再进一步研究函
数的另一性质——极值．
函数的极值我们从初三就已开始接触，并且会求某些函数的极值．
例如对函数 y=x2－2x＋4，可知 y'=2x－2=2(x－1)
当 x＞1时，y'＞0，函数是增函数；
当 x＜1时，y'＜0，函数是减函数(图 3－11)．
我们还知道 x=1时，函数 y有极小值 y=3．什么是极小值，它的定义是什么？现在
我们就来比较严格的定义、研究它．
2．新课．
(1)定义 如果函数 y=f(x)在点 x0处连续，并且 x0不是其定义区间的端点，若对 x0附
近的所有点 x(x≠x0)都有 f(x)＜f(x0)(或 f(x)＞f(x0))我们就说函数 f(x)在点 x0处取极大值
(或极小值)，或说 f(x0)是函数 f(x)的一个极大值(或极小值)．其中点 x0称为 f(x)的极大
点(或极小点)．极大值与极小值统称极值，相应的 x0也称极值点．
注意：①极值点是函数 f(x)定义域中的内点，因而端点绝不是极值点．
②极值是个局部概念，是讨论 f(x)在 x0及其邻域点的函数值的大小情况．所以连
续函数 f(x)在其定义域上极值点可能不止一个，函数的一个极小值也不见得比它一个极
大值小，当然有的函数也不见得有极值．在图 3－12中函数 y=f(x)在[a，b]连续，易见
x1，x2，x3，x4，都是 y=f(x)的极值点．y=f(x)在 x=x4取极小值，y=f(x)在 x=x1取极大值，
但是 f(x4)＞f(x1)．
(2)可导函数的极值．使 y'=0的点，是 f(x)的驻点．
①不难看出可导函数 y=f(x)在极值点处的切线与 x轴平行，即 y'=0．所以，极值点
一定是它的驻点．但是可导函数的驻点是否一定是它的极值点呢？(让学生思考所学过
的函数)例如：y=x3，由 y'=3x2=0，知 x=0是它的驻点，但在图形中，我们可以清楚地
看到，x=0并不是函数的极值点．所以可导函数的驻点是极值点的必要而不充分条件．
②由图 3－13观察分析可得出结论：若 x=x0是 y=f(x)的一个驻点，且在 x=x0两边
一阶导数 f'(x)的符号不同，则 y=f(x)在 x=x0取得极值．(若 y'左正右负，取极大值．若
y'左负右正取极小值．)
③求可导函数 f(x)的极值的方法．
A 求导数 f'(x)；
B 令 f'(x)=0，求出 f(x)的驻点．
C 检查 f'(x)在驻点左右的符号，判别是否取得极值．
3．例题分析．
例 1 求函数 f(x)=(x2－1)3＋1的极值．
解：f'(x)=3(x2－1)2·2x=6x(x＋1)2(x－1)2
令 f'(x)=0 得 x=－1，0，1
∴ 当 x=0时，f(0)=0为函数的极小值．
②若设 y=f(x)、可以写成，当 x=0，y 极小=0．
在此题中，我们看到 x=±1是其驻点，并不是极值点．我们来看它的图象(图 3－
14)．
易见 x=±1不是它的极值点．
例 2 求函数 f(x)=x＋2sin x在区间[0，2π]内的极值．
解：f'(x)=1＋2cos x．
二、巩固练习
1．小结主要内容：连续函数极值的定义及可导函数极值的求法．
2．练习：函数 y=lnx，y=ax＋b(a≠0)有没有极值，为什么？
∴ 函数没有极值．
又∵ y=ax＋b，y'=a≠0函数在定义域内无驻点，
∴原函数无极值(实际上函数也是单调的．)
三、作业
1．复习教材中函数的极大值与极小值．
自己弄明白例 2中函数 f(x)=x＋2sin x图象的画法．
2．书面作业：
(1)求下列函数的极值，并画出图象草图．
① y=x2－7x＋6；② y=3x4－4x3；
(2)求下列函数的极值．
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