第十一教时 二项式定理(一)
【教材】10.4二项式定理
【目的】1.掌握二项式定理及二项式展开式的通项公式.
2.会利用二项展开式及通项公式解决有关问题.
【过程】：
一、新课引入
初中我们学习了完全平方公式和立方公式,前一节我们又学习了组合数公式,容易
得到
22
2
1
2
20
2
222 2)( bCabCaCbababa
33
3
22
3
21
3
30
3
33233 33)( bCabCbaCaCbabbaaba
问题: ))()()(()( 4 bababababa 的展开式中的各项是什么?
二、新课
1.二项式定理
思考:在 ))()()(()( 4 bababababa 的展开式中 3ab 是怎样来的?有
多少个 3ab ?
引导: 3ab 即 abbb ,是从上面四个括号中各选一个而来,3个b自四个括号中给
出,四个括号中选 3个b ,有 34C 种可能.由于选出 b的括号的同时自然剩
下1个括号选出 a .因此, a 与 3b 是同时得到的,所以在计算 3ab 的数目
时,只需考虑 3b 的数目就可以了,而不必考虑 a 的数目.所以 3ab 的个数
是 34C ,即 3ab 的系数是 34C .
练习:按刚才的道理分别写出 4a , ba3 , 22ba , 4b 的系数.
由以上探索我们可以得到 44433422243144044)( bCabCbaCbaCaCba
问题: 5)( ba , 6)( ba 的展开式如何?
归纳:一般地,对于任意正整数 n ,我们有
nnnrrnrnnnnnn bCbaCbaCaCba 110)( ( *Nn )
指出:这个公式所表示的定理叫做二项式定理,右边的多项式叫做 nba )( 的二
项展开式 ,,各项系数 rnC ( nr ,,2,1,0 )叫做二项式系数 ,式中
rrnr
n baC 叫做二项展开式的通项,记作 rrnrnr baCT 1 .
特例:在二项展开式中令 xba ,1 ,则得到公式:
nnnnnn xCxCxCx 2211)1(
2.定理的应用
例 1 (教材106页例1)
例 2 (教材106页例2)
指出:当二项式较复杂时,可先将式子化简,然后再展开.
例3 (教材106页例3)
指出:本题是利用通项公式求给定项,这时应避免出错的关键是弄清共有多少项,
所求的是第 n项,相应的 r 是多少.
引伸:求 5)2( ba 展开式的①第3项;②第3项的系数;③第3项的二项式系数.
指出:注意系数与二项式系数的区别.
3.练习:
教材第107页练习1、2、3、4题
三、小结:
1.二项式定理的探索思路:观察——归纳——猜想——证明.
2.二项式定理及通项公式的特点.
四、作业:教材第111页 习题第1(2)、2、4(1)(2)题.
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