归纳、猜想、证明教案
教学目标
1．对数学归纳法的认识不断深化．
2．帮助学生掌握用不完全归纳法发现规律，再用数学归纳法证明规律的科学思维
方法．
3．培养学生在观察的基础上进行归纳猜想和发现的能力，进而引导学生去探求事
物的内在的本质的联系．
教学重点和难点
用不完全归纳法猜想出问题的结论，并用数学归纳法加以证明．
教学过程设计
(一)复习引入
师：我们已学习了数学归纳法，知道它是一种证明方法．请问：它适用于哪些问
题的证明？
生：与连续自然数 n有关的命题．
师：用数学归纳法证明的一般步骤是什么？
生：共有两个步骤：
(1)证明当 n取第一个值 n0时结论正确；
(2)假设当 n=k(k∈N，且 k≥n0)时结论正确，证明当 n=k＋1时，结论也正确．
师：这两个步骤的作用是什么？
生：第(1)步是一次验证，第(2)步是用一次逻辑推理代替了无数次验证过程．
师：这实质上是在说明这个证明具有递推性．第(1)步是递推的始点；第(2)步是递
推的依据．递推是数学归纳法的核心．用数学归纳法证题时应注意什么？
生：两个步骤缺一不可．证第(2)步时，必须用归纳假设．即在 n=k成立的前提下
推出 n=k＋1成立．
师：只有这样，才能保证递推关系的存在，才真正是用数学归纳法证题．
今天，我们一起继续研究解决一些与连续自然数有关的命题．请看例 1．
(二)归纳、猜想、证明
1．问题的提出
师：这个题目看起来庞大，其实它包括了计算、推测、证明三部分，我们可以先一
部分、一部分地处理．
(学生很快活跃起来，计算工作迅速完成，请一位同学口述他的计算过程，教师板
演到黑板上)
师：正确．怎么推测 an的计算公式呢？可以相互讨论一下．
2．归纳与猜想
生：我猜出了一个 an的计算公式．(许多学生在偷笑)
师：大家在笑什么？是笑他的“猜”吗？“猜”有什么不好．人们对事物的认识
很多都是以“猜”开始的，探索新领域就需要大胆，敢猜敢想，当然还要有严谨的思
维做后盾．我想他的“猜”，也一定不是胡蒙乱猜，一定会有他的道理的，说说你是
怎么“猜”的．
师：大家也一定觉得他说的有道理，但为什么用“猜想”呢？
生：我只是通过对 a1，a2，a3，a4的观察，就去归纳 an的计算公式，这个公式不
一定对，所以还只能是“猜想”．
师：他是经观察有限个特例从中获取一定信息、分析它们共同具有的特征后，归纳
出对一切自然数的一般结论．他用的是不完全归纳法．他的结论虽不一定正确，但这
却是探索新知识，发现新规律的重要途径，归纳法是可以用于猜测与发现的．
我们一起把他的“猜想”记录下来．
(教师板书)
师：这个“猜想”的正确性怎么能保证？
生：用数学归纳法证明．
3．证明
(学生口述，教师板书)
师：证得非常好．在证明 n=k＋1时，每一步的依据是什么？
生：因为在这里，能否用上归纳假设是关键．因此先根据定义用 ak表示 ak＋1，
然后就可代入归纳假设，再化简整理，即可证出 n=k＋1的相应结论．
师：这才能体现出递推性．必须注意要由归纳假设(n=k时)的正确性来推 n=k＋1
时的正确性，这是用数学归纳法证题的核心与关键．
回顾我们的解题过程，光用不完全归纳法对事物的一部分特例，通过观察，加以
归纳，得到猜想，再用数学归纳法对猜想加以证明．这种从观察到归纳到猜想到证明
的过程，是一种科学的思维模式，也正是我们今天要研究的课题．
(板书课题：归纳、猜想、证明)
4．不完全归纳法中的“猜测”二法
师：高斯说过：“发现和创新比命题论证更重要，因为一旦抓住真理之后，补行
证明往往是时间问题．”
在“归纳、猜想、证明”的过程中，猜想准确是关键．我们再看一个例题，在解题
过程中重点思考：如何猜想．
(学生们在笔记本上解答，教师巡视完成情况，请两位同学把自己的解法写到黑板
上)
(学生甲书写如下)
则 f(n)=f(n－1)＋lg2n-1(n≥2)．
f(3)=f(2)＋lg23-1=0＋2lg2=2lg2，
f(4)=f(3)＋lg24-1=2lg2＋3 lg 2=5lg2．
猜想：……
(学生乙书写如下)
得 f(n)=f(n－1)＋lg2n-1(n≥2)．
则 f(2)=f(1)＋lg22-1=－lg2＋(2－1)lg2=(－1＋2－1)lg2，
f(3)=f(2)＋lg23-1=(－1＋2－1＋3－1)lg2，
f(4)＝f(3)＋lg24-1
=(－1＋2－1＋3－1)lg2＋(4－1)lg2
=(－1＋2－1＋3－1＋4－1)lg2．
由此可以推测：
f(n)=[－1＋(2－1)＋(3－1)＋…＋(n－1)]lg2
=[－1＋1＋2＋…＋(n－1)]lg2
师：我们一起来看两位同学的解题过程．学生甲的计算结果正确，但没有猜出来．
学生乙没有求出 f(2)，f(3)，f(4)的值，但猜出了计算公式，并用数学归纳法给予了证明．
题目要求求值，还是应写出结果的，说说你这么写的理由吧．
生乙：其实一开始，我跟学生甲一样，先算出了 f(2)，f(3)，f(4)的值，但从－
lg2，0，2lg2，5lg2我除发现了应是多少倍的 lg2就再无收获了，这“多少倍的”从－
1，0，2，5实在无法断定，于是我就往回找，从计算的过程中，我发现了规律，一高
兴就忘了写结果了．
师：你是怎么从计算的过程中发现规律的？
生乙：我是看 f(2)，f(3)，f(4)每一个的计算过程都是在前一个结果的基础上加上(n
－1)lg2，也就是从 n=2，3，4，…分别代入递推关系式 f(n)=f(n－1)＋(n－1)lg2的求值
计算过程中得到的．这里算每一个时要用前一个的结果，写时也用它的计算过程来表
示，这样就容易发现规律了．
师：实际上，他是通过算式的结构特征作出归纳、推测的，这种归纳我们不妨称之
为：“猜结构”，而例 1那种归纳我们就叫它做“猜结果”吧．
其实，我们在猜想时，往往是先看结果，从结果得不出猜想时，再看过程，从解
题过程中的式子结构去思考．但不管怎么猜想，都离不开对题目特征的认识．
学生乙在用数学归纳法证明猜想时，注意了两个步骤及归纳假设的使用，证明正
确．这个问题解决得非常好．
归纳、猜想、证明是一种科学的思维方法，重要的解题途径，它是我们认识数学的
一把钥匙．
(三)练习
已知数列｛an｝和｛bn｝，其中
an＝1＋3＋5＋…＋(2n＋1)，bn＝1＋2＋22＋…＋2n-1，(n∈N＋)
当 n∈N＋时，试比较 an与 bn的大小，并证明你的结论．
(教师巡视学生的解题情况，适时点评)
师：有的同学面对问题无从下手，一下子就想得到一个一般性的结论是不太容易，
但我们可以从特殊的 n=1，n=2，……入手，通过观察归纳，猜想出一个一般的结论，
这应是可以做到的吧．
……
有的同学结论下得太草率，只看了 a1与 b1，a2与 b2，a3与 b3就下结论了，急于
去证明，证的时候就有困难了．这种时候该怎么办？①看证法是否正确；②回过头来
多试几个，甚至还应看看 an，bn的结构，再慎重下结论．
(待大部分学生都解出后，教师将课前准备好的写在投影片上的解答在投影机上打
出来并讲评．)
当 n=1时，a1=4，b1=1，则 a1＞b1；
当 n=2时，a2=9，b2=3，则 a2＞b2；
当 n=3时，a3=16，b3=7，则 a3＞b3；
当 n=4时，a4=25，b4=15，则 a4＞b4；
当 n=5时，a5=36，b5=31，则 a5＞b5；
当 n=6时，a6=49，b6=63，则 a6＜b6；
当 n=7时，a7=64，b7=127，则 a7＜b7；
……
由此得到：当 n≤5(n∈R)时，an＞bn；
猜想：当 n≥6(n∈R)时，an＜bn．
前一结论在推导时已用穷举法得到证明，后一猜想我们用数学归纳法加以证明．
证明：(1)当 n=6时，上面已证得 a6＜b6，命题成立．
(2)假设当 n=k(k≥6)时命题成立，即 k≥6时，(k＋1)2＜2k－1．则当 n=k＋1时，
bk＋1=2k＋1－1=2·2k－1=2(2k－1)＋1＞2(k＋1)2＋1=2k2＋4k＋3=k2＋4k＋4＋(k2－
1)．
因 k≥6，则 k2－1＞0．所以 k2＋4k＋4＋(k2－1)＞k2＋4k＋4． 即 bk＋1＞k2＋
4k＋4=(k＋2)2=[(k＋1)＋1]2=ak＋1．故 ak＋1＜bk＋1，所以当 n=k＋1时，命题也成立．
由(1)，(2)得 an＜bn对任意 n≥6且 n∈N＋都成立．
第(2)步亦可由分析法证得．
(2)假设当 n=k(k≥6)时命题成立，即 k≥6时，(k＋1)2＜2k－1，则当 n=k＋1时，
要证 ak＋1＜bk＋1，即证：(k＋2)2＜2k＋1－1．
这只要证(k＋2)2＜2·2k－1．
由归纳假设 2k＞(k＋1)2＋1，
只要证 (k＋2)2＜[(k＋1)2＋1]×2－1，
只要证 k2＋4k＋4＜2k2＋4k＋3，
只要证 1＜k2．
这由 k≥6是显然成立的，所以当 n=k＋1时命题也成立．
师：本题不能只对 n=1，2，3，4做出检验，就冒然断定当 n∈N＋时，an＞bn成
立．如果仓促做出此推测，在后面证明受阻时，也应重新检查猜想是否准确．
其实，仔细看看式子 an=(n＋1)2，bn=2n－1的结构，就不难发现：随着 n的不断
增大，bn的增长速度明显快于 an．想想这些，对结论的猜测会是大有好处的．
(四)小结
(引导学生一起归纳小结)
1．归纳、猜想、证明是一个完整的思维过程，既需要探求和发现结论，又需要证明
所得结论的正确性．它引导我们在数学的领域中积极探索，大胆猜想，可以充分地发
挥我们的数学想象力．同时又要求我们注意对所得的一般结论作严格的数学证明．
2．归纳法是一种推理方法，数学归纳法是一种证明方法．归纳法帮助我们提出猜
想，而数学归纳法的作用是证明猜想．在归纳、猜想、证明的过程中，猜想是关键．我
们可以“猜结果”，也可以“猜过程”，只要抓住问题的本质特征、知识的内在联系，
就不难得到猜想．在用数学归纳法证明时，有时还可以弥补猜想中的不足．
(五)布置作业
1．高级中学课本《代数》下册(必修)P129第 35题．
2．(选作)已知数列｛an｝满足 Sn＋an=2n＋1，其中 Sn是｛an｝的前 n项和．先求
出 a1，a2，a3，a4的值，再推测｛an｝的通项公式，并用数学归纳法加以证明．
本题的求值计算、猜想都不是很困难，但用数学归纳法证明有一定难度．在由归纳
假设 ak成立推证 ak+1成立时，需 ak+1与 ak的关系式，而题目条件中没有直接给出，
这
仅在用数学归纳法的证明中起着重要作用，而且可简化计算．有整体构想的同学
应先推导出此关系式，再计算、猜想、证明)
课堂教学设计说明
利用“归纳、猜想、证明”这一思维方法解题，在课本中虽无这类例题，但复习参
考题的最后一道却属此类．它对于学生认识数学、提高数学修养、发展数学能力的作用
重大．
在归纳、猜想、证明中，准确猜想是关键．因此我们把重点放在了如何猜想．它不
仅能帮助学生使问题得以顺利解决，而且对于开发学生的想象力、培养学生的创新意识、
培养新世纪人材都很有意义．
在例题、习题、作业题的配备上，我们认为高中的学习特点是梯度陡、跨度大、思维
能力要求高(较初中而言)．因此在题目的设置上，我们加大了思维的含量．让学生在处
理每一个问题，操作每一步时都必须有所思考，使学生深切体会到：数学不能死记硬
背，也不能生搬硬套．要用数学的思想方法观点学习数学、看待数学．
本节安排的这道练习题．从题目本身看，学生得不到一个解题程序，似乎无从下
手．但如果他已掌握了归纳、猜想、证明的思想而不只是方法的话，他就会有解题意识
与思路．更可从中领略到发现、观察、归纳、猜想、证明这一数学研究的全过程，体会有
限与无限、特殊与一般等辩证关系．
至于课后思考题，其计算、猜想都不困难，使学生对此题轻松上手．但证明时的不
顺利会引发他们的思考：照搬例习题的模式是不行的，它与例习题的区别何在？数学
归纳法的本质特征是什么？……这些思考不仅有助于学生解出此题，更有助于学生从
实质上理解数学归纳法，抓住其核心——递推．
这节课的教学，我们始终以问题为主线，让学生的思维由问题开始，到问题深化．
通过问题的研讨，帮助学生从认识上得到提高．逐步由特殊到一般，由具体到抽象，
由表面到本质，把学生的思维步步引向深入．从而提高学生的思维层次与思维水平．
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