0 0 类别 : 教案

二项式定理教案 一、教学目标： 使学生掌握二项式定理及其证明(数学归纳法)，培养学生发现 和揭示事物内在客观规律能力和逻辑推理能力。通过介绍“杨辉三角”， 对学生进行爱国主义教育。 二、教学重、难点： 重点：二项式定理的推导及证明 难点：二项式定理的证明 三、教学过程： (一)新课引入： (提问)：若今天是星期一，再过 810天后的那一天是星期几？ 在初中，我们已经学过了 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a+b)3＝(a+b)2(a+b)＝a3+3a2b+3ab2+b3 (提问)：对于(a+b)4，(a+b)5 如何展开? (利用多项式乘法) (再提问)：(a+b)100又怎么办？ (a+b)n(n∈N+)呢？ 我们知道，事物之间或多或少存在着规律。这节课，我们就来研 究(a+b)n的二项展开式的规律性 (二)新课： (如何着手研究它的规律呢)？采用从特殊到一般（不完全归纳）的 方法。 规律：(a+b)1=a+b (a+b)2=(a+b)(a+b)=a·a+a·b+b·a+b·b=a2+2ab+b2 (a+b)3=(a+b)2(a+b)=(a2+2ab+b2)(a+b)=a3+3a2b+3ab2+b3 (a+b)4=(a+b)3(a+b)=(a3+3a2b+3ab2+b3) 1 810＝ (7+1)10＝ 010C 710+ 110C 79+ …+ 910C 7+ 1010C ＝2(733＋c133732+…+c3233·7+2 (a+b)=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 根据以上的归纳，可以想到(a+b)n的展开式的各项是齐次的，它们 分别为 an, an-1b, an-2b2,…，bn,展开式中各项系数的规律，可以列表： (a+b)1 1 1 (a+b)2 1 2 1 (a+b)3 1 3 3 1 (a+b)4 1 4 6 4 1 (a+b)5 1 5 10 10 5 1 （这表是我国宋代杨辉于 1261 年首次发现的，称为杨辉三角，比欧 洲至少早了三百年。） 如何从组合知识得到(a+b)4展开式中各项的系数 (a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b) (1)若每个括号都不取 b，只有一种取法得到 a4即 04C 种 (2)若只有一个括号取 b，共有 14C 种取法得到 a3b (3)若只有两个括号取 b，共有 24C 种取法得到 a2b2 (4)若只有三个括号取 b，共有 34C 种取法得到 ab3 (5)若每个括号都取 b，共有 44C 种取法得 b4 01C 11C 02C 12C 22C 03C 13C 23C 33C 04C 14C 24C 34C 44C 2 05C 15C 25C 35C 45C 55C ………… ∴ (a+b)n= 0nC an+ 1nC an-1b+…+ rnC an-rbr+…+ nnC bn(n∈N+) 以上我们采用不完全归纳法得到，不一定可靠，若要说明正确，须加 以证明(数学归纳法)。 证明：(1)当 n=1 时，左边＝(a+b)1=a+b 右边＝ 01C a1+ 11C b1=a+b ∴ 等式成立 (2)假设 n=k 时，等式成立，即(a+b)k= 0kC ak+ 1kC ·ak-1b+…+ rkC ak- rbr+… kkC ·bk 那么当 n=k+1 时 (分散难点作法) 以 (a+b)4(a+b)与(a+b)k(a+b)进行类比 (a+b)4(a+b)＝( 04C a4+ 14C a3b+ 24C a2b2+ 34C ab3+ 44C b4)(a+b) =（ 04C a5+ 14C a4b+ 24C a3b2+ 34C a2b3+ 44C ab4）+（ 04C a4b+ 14C a3b2+ 2 4C a2b3+ 34C ab4+ 44C b5） 由组合数性质知 04C ＝ 05C 14C ＋ 04C ＝ 15C 24C ＋ 14C ＝ 25C 3 4C ＋ 24C ＝ 35C 44C ＋ 34C ＝ 45C 44C ＝ 55C 3 则(a+b)5= 05C a5+ 15C a4b+ 25C a3b2+ 35C a2b3+ 45C ab4+ 55C b5 (a+b)k+1=(a+b)k·(a+b)=( 0kC ak+ 1kC ·ak-1b+…+ rkC ak-rbr+…+ kkC ·bk) (a+b) ＝( 0kC ·ak+1+ 1kC akb+…+ rkC ak-r+1br+…+ kkC abk)+( 0kC akb+ 1kC ak- 1b2+…+ rkC ·ak-rbr+1＋…＋ kkC ·bk+1) ＝ 0kC ak+1+( 1kC + 0kC )akb+…+( 1rkC + rkC )ak-rbr+1+…+( kkC + 1kkC )abk+ k kC ·bk+1 由组合数性质得， okC = 0 1kC 1kC + okC = 1 1kC ，… 1rkC + rkC = 11rkC ， kkC + 1kkC = kkC 1 ， kkC = 11kkC ∴(a+b)k+1= 0 1kC ak+1+ 1 1kC akb1+…+ 11kkC ak-rbr+1+…+ kkC 1 abk+ 11kkC bk+1， 即等式成立。 根据（1）（2）可知，等式对于任意 n∈N+都成立。 一、指出：这个公式叫做二项式定理 （板书），它的特点： 1．项数：共有(n+1)项 2 ． 系 数：依次为 0nC ， 1nC ， 2nC ，… rnC ，… nnC ，其中 rnC (r ＝ 0，1，2，…n)称为二项式系数 说明：二项式系数 rnC 与展开中某一项系数是有区别的。例如：(1＋ 4 2x)6展开式中第 3 项中系数为 26C ·22＝60 而第三项的二项式系数是 26C ＝15。 3．指数：an-r·br指数和为 n，a 的指数依次从 n 递减到 0，b 的指数依次 从 0递增到 n。 三、小结： （1）二项式定理(a+b)n= 0nC an+ 1nC an-1b+…+ rnC an-rbr+…+ nnC bn是通过不 完全归纳法，并结合组合的概念得到展开式的规律性，然后用数学归纳法 加以证明。 （2）二项式定理的特点：1．项数 2．系数 3．指数 四、作业：P253 T2 .T3 5