简单的线性规划教案
教学目标 (1)帮助学生正确理解，线性约束条件，目标函数，可
行解，可行域，最优解等有关线性规划的重要概念．
(2)通过教师示范讲解，学生练习，掌握在线性约束条件下求线性
目标函数的最优解的基本方法．
(3)通过解题过程中的分析，作图，培养学生严谨细致，严格准确
的科学精神．
教学重点和难点
重点：对线性约束条件，目标函数，可行解，可行域，最优解的深
刻理解和区分．对在线性约束条件下求线性目标函数最优解的掌握．
难点：线性规划有关概念的掌握，目标函数最优解的理解．
教学过程设计
(一)讲授新课．
现在我们来研究下面的问题：
设Z＝2x＋y，式中变量x，y满足下列关系．
同学们已明白给出的不等式组是一个平面区域，我们把它画出来，
变量x，y将在这个范围取值，即由变量x，y为坐标，组成的点，在这
个平面区域内．
由图可知，原点(0，0)不在给出的平面区域内．原点(0，0)在直线
l0：2x＋y＝0上，作一组与直线l0平行的直线，l：2x＋y＝l，(l∈R)
当l在l0的右上方时，直线l上的点(x，y)满足2x＋y＞0，即l＞
0，而且，直线l往右平移时，l随之增大，在经过这个平面区域内的点
且与l平行的直线中，以经过点A(5，2)的直线l2所对应的l最大．以
经过点B(1，1)的直线l1所对应的l最小．
∴Z 最大值＝2×5＋2＝12．
Z 最小值＝2×1＋1＝3．
(二)学生阅读课文(P722.线性规划到 P 74例 3 前)
阅读思考题：
(1)说出“线性约束条件”、“线性目标函数”、“线性规划”、
“可行解”、“可行域”、“最优解”的含义．
(2)总结用线性规划求线性目标函数最优解的步骤．
(三)教师讲评：
x，y的约束条件，因为是关于x，y的一次不等式，所以称为线性
约束条件．
②Z＝2x＋y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x，y的解析式，
叫做目标函数．因为是x，y的一次解析式，所以称为线性目标函数．
③求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题称为
线性规划问题．
④满足线性约束条件的解(x，y)叫做可行解．
⑤所有可行解的集合叫做可行域．如上面问题中的三角形区域．
⑥使目标函数取得最大值和最小值的可行解，叫做这个问题的最优
解．如上面问题中的可行解A(5，2)和 B点(1，1)．就是最优解．
(2)用线性规划求线性目标函数最优解的步骤：
①根据线性的约束条件，确定可行域．
②由线性目标函数，得出过原点的直线的二元一次方程．做过原点
的直线l0．
③求出可行域边界直线交点的坐标．
④过可行域边界直线的交点，作l0的平行线，确定最优解．
我们通过下面的例题来掌握线性目标函数最优解的求法．
求Z＝x＋2y的最大值和最小值．
解：根据约束条件，作出可行域．(如图)
作过原点的直线l0：x＋2y＝0．
作直线l0的平行线l，把直线l向上平移至过点A(－2，2)时，Z取
得最小值．
Z 最小值＝(－2)＋2×2＝2，
把直线l向上平移至过点B(2，8)时，Z取得最大值，
Z 最大值＝2＋2×8＝18．
(四)学生课堂练习
1．课本练习题．1(1)．
Z＝2x＋y．l0：2x＋y＝0．
A(－1，－1)．B(2，－1)．
Z 最小值＝2×(－1)＋(－1)＝－3．
Z 最大值＝2×2－1＝3．
2．课本练习题1．(2)
z＝3x＋5y
l0：3x＋5y＝0
(五)作业 习题7．4．2
[动画要求]线性规划作图，要求位置准确，线条清楚．
①先作出可行域(与前面要求相同)
②作过原点的直线l0．(虚线)
③一条虚线平行于l0，作平行移动，从边界交点的最下方平移到最
上方．在最优解处虚线要留下来，其它虚线平移过后就消失．
④最优解的点闪亮几下．
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