导数的定义教案 1
教学目的
1．使学生在了解瞬时速度的基础上抽象出变化率，建立导数的概念．
2．掌握用导数的定义求导数的一般方法．
教学重点和难点
导数的概念是本节的重点和难点．
教学过程
一、复习提问(导数定义的引入)
1．什么叫瞬时速度？(非匀速直线运动的物体在某一时刻 t0的速度．)
2．怎样求非匀速直线运动在某一时刻 t0的速度？
下面以自由落体运动为例来分析．
(1)计算 t从 3秒分别到 3.1秒、3.01秒、3.001秒、3.0001秒、……各段时间内的平均速
度．
(2)求 t=3秒时的瞬时速度．
其余各段时间内的平均速度，事先写在小黑板上，待学生回答完第一段时间内的
平均速度后，即出示小黑板，然后让学生思考在各段时间内平均速度的变化情况．
=3g=29.4(米/秒)
一般求非匀速直线运动在时刻 t0的瞬时速度的方法如下：
非匀速直线运动的规律 s=s(t)．
时间改变量Δt，位置改变量Δs=s(t0＋Δt)－s(t0)，
当Δt很小时，平均速度为什么能近似地代替瞬时速度？当Δt→0时，平均速度
的极限是瞬时速度的近似值还是精确值？
二、新课(导数的定义)
上面我们研究了非匀速直线运动的速度问题，象这类问题在现实生活中大量存在，
如物体的比热、电流强度以及化学中的物质反应速度等，虽然它们的物理意义和化学意
义各不相同，但是它们的数学形式是相同的．我们撇开这些量的具体意义，抓住它们
在数量关系上的共性即
函数 y=f(x)，自变量的改变量Δx；
函数的改变量 Δy=f(x0＋Δx)－f(x0)
我们把这种反映函数在一点处变化的快慢程度的变化率(即瞬时变化率)定义为导数．
1．导数的定义：
(定义可请学生试着叙述后，让学生看书中导数定义，教师再边复述边板书)．
(2)Δx＝x－x0是自变量 x在 x0处的改变量，所以Δx可以为正，也可以为负，也
可以时正时负，但Δx≠0，而函数变化可正、可负、也可以是零．
(3)由导数定义可知前例自由落体运动在 t＝3秒时的瞬时速度 3g=29.4就是路程函
数 s(t)在 t0＝3处的导数．
＝3g=29.4(米/秒)．
2．求导数的一般方法：(由学生来归纳)
例 1 求 y=x2在 x＝1处的导数．
解：Δy＝(1＋Δx)2－12＝2Δx＋(Δx)2
∴ y'|x=1=2．
引导学生分析这两例的异同，弄清“函数 f(x)在点 x0处的导数”，“导函数”，
“导数”，它们之间的区别和联系．请学生回答后，教师再归纳以下几点：
(1)函数在一点处的导数，就是在该点的函数改变量与自变量比的极限，它是一个
数值，不是变数．
(2)函数的导数，是对某一区间内任意点 x说的，就是函数 f(x)的导函数 f'(x)．
(3)如果函数 f(x)在开区间(a，b)内每一点处都可导，就说 f(x)在开区间(a，b)内可
导．这时对于开区间(a，b)内每一个确定的值 x0，都对应着一个确定的导数 f'(x0)，这
样就在开区间(a，b)内，构成一个新的函数，我们把这一新函数叫做 f(x)的导函数．
(5)求函数在一点处的导数，一般是先求出函数的导数，再计算这点的导数值．
三、练习(学生练习后教师再讲评)
1．求 y＝x3－2x＋1在 x=2处的导数．
解：Δy＝(x＋Δx)3－2(x＋Δx)＋1－(x3－2x＋1)
＝(3x3－2)Δx＋3x(Δx)2＋(Δx)3，
四、小结本节讲的主要内容
1．导数的定义．
2．求导数的一般方法．
3．“函数在某一点的导数”，“导函数”“导数”的区别和联系．
五、布置作业
1．已知质点按规律 s＝2t2＋4t(米)作直线运动，求
(1)质点在运动开始前 3秒内的平均速度；
(2)质点在 2秒到 3秒内的平均速度；
(3)质点在 3秒时的瞬时速度．
2．求下列函数在指定点处的导数．
3．求下列函数的导数：
/5
