§4.9.3 函数y＝Asin(ωx＋ )的图象教案
●教学目标
(一)知识目标
1.“五点法”画y＝Asin(ωx＋ )的图象；
2.图象变换的方法画y＝Asin(ωx＋ )的图象；
3.振幅、周期、最值等.
(二)能力目标
1.会用“五点法”画y＝Asin(ωx＋ )的图象；
2.会用图象变换的方法画y＝Asin(ωx＋ )的图象；
3.会求一些函数的振幅、周期、最值等.
(三)德育目标
1.数形结合思想的渗透；
2.化归思想的渗透；
3.提高数学素质.
●教学重点
1.“五点法”画y＝Asin(ωx＋ )的图象；
2.图象变换过程的理解；
3.一些相关概念.
●教学难点
多种变换的顺序
●教学方法
引导学生多思考，多体会，勤动手，勤动脑，多总结.(引导式)
●教具准备
投影片两张
第一张：课本P64，图4—26
第二张：课本P65，步骤1、2、3、4、5
●教学过程
Ⅰ.课题导入
师：同时涉及到多种变换的函数
y＝Asin(ωx＋ )(其中A＞0，ω＞0， ≠0)的图象又该如何得到?
［例］画出函数y＝3sin(2x＋ 3
)，x∈R 的简图.
解：(五点法)
由T＝ 2
2 ，得T＝π 令 x＝2x＋ 3
列表：
x – 6
12
3
12
7
6
5
2x+ 3
0
2
π
2
3 2π
3sin(2x+
3
0 3 0 –3 0
描点画图：
(打出幻灯片§4.9.3 A)
师：这种曲线也可由图象变换得到：
即：y＝sinx y＝sin(x＋ 3
)
y＝sin(2x＋ 3
) y＝3sin(2x＋ 3
)
一般地，函数y＝Asin(ωx＋ )，x∈R(其中 A＞0，ω＞0)的图象，可以看作用下面
的方法得到：
先把正弦曲线上所有的点向左(当 ＞0时)或向右(当 ＜0时＝平行移动｜ ｜个
单位长度，再把所得各点的横坐标缩短(当ω＞1时)或伸长(当 0＜ω＜1时)到原来的
1
倍(纵坐标不变)，再把所得各点的纵坐标伸长(当A＞1时)或缩短(当0＜A＜1时)到原来的
A倍(横坐标不变).
(打出幻灯片§4.9.3 B)
师：这一过程的步骤如图所示
师：另外，注意一些物理量的概念
A 称为振幅
T＝
2 称为周期
f＝T
1 称为频率
ωx＋ 称为相位
x＝0时的相位 称为初相
Ⅲ.课堂练习
生：(口答)课本P66 4
(书面练习)课本P66 1.(7)(8)(9)(10)5.
Ⅳ.课时小结
师：通过本节学习，要熟练掌握“五点法”画 y＝Asin(ωx＋ )的图象，理解图象变
换法作图象的过程，体会它们之间的关系.
进一步掌握三角函数的基本性质，解决一些实际问题.
Ⅴ.课后作业
(一)课本P68 2.(3)(4)3.4
(二)1.预习课本P69～P71
2.预习提纲
(1)正切函数的图象如何?
(2)正切函数有哪些性质?
●板书设计
左移 3个单位 纵坐标不变
横坐标变为倍
纵坐标变为 3倍
横坐标不变
课题
一、概念
y＝Asin(ωx＋ )
A为振幅
2 为周期
ωx＋ 为相位
为初相
二、例题讲解
课时小结
●备课资料
1.已知函数 y＝Asin(ωx＋ )(A＞0，ω＞0，0＜ ＜2π)图象的一个最高点(2，
3 )，由这个最高点到相邻最低点的图象与 x轴交于点(6，0)，试求函数的解析式.
解：由已知可得函数的周期T＝4×(6－2)＝16
∴ω＝ T
2 ＝ 8
又A＝ 3
∴y＝ 3 sin( 8
x＋ )
把(2， 3 )代入上式得： 3 ＝sin( 8
×2＋ )· 3
∴sin( 4
＋ )＝1，而 0＜ ＜2π
∴ ＝ 4
∴所求解析式为：y＝ 3 sin( 8
x＋ 4
)
2.已知函数 y＝Asin(ωx＋ )(其中 A＞0，｜ ｜＜ 2
）在同一周期内，当 x＝
12
时，y有最小值
－2，当x＝ 12
7 时，y有最大值2，求函数的解析式.
分析：由 y＝Asin(ωx＋φ)的图象易知 A的值，在同一周期内，最高点与最低点横坐
标之间的距离即 2
T ，由此可求ω的值，再将最高(或低)点坐标代入可求 .
解：由题意A＝2， 2
＝ 12
7 －12
∴T＝π＝
2 ，∴ω＝2
∴y＝2sin(2x＋ )又 x＝12
时y＝2
∴2＝2sin(2×12
＋ )
∴ ＋ 6
＝ 2
( ＜ 6
＝
∴ ＝ 3
∴函数解析式为：y＝2sin(2x＋ 3
)
3.若函数 y＝f(x)的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的 2倍，然
后再将整个图象沿 x轴向左平移 2
个单位，沿 y轴向下平移 1个单位，得到函数 y＝ 2
1
sinx的图象，则有y＝f(x)是( )
A.y＝ 2
1 sin(2x＋ 2
)＋1 B.y＝ 2
1 sin(2x－ 2
)＋1
C.y＝ 2
1 sin(2x－ 4
)＋1 D.y＝ 2
1 sin( 2
1 x＋ 4
)＋1
解析：由题意可知
y＝f［ 2
1 (x＋ 2
)］－1＝ 2
1 sinx
即 y＝f［ 2
1 (x＋ 2
)］＝ 2
1 sinx＋1
令 2
1 (x＋ 2
)＝ｔ，则 x＝2ｔ－ 2
∴f(ｔ)＝ 2
1 sin(2ｔ－ 2
)＋1
∴f(x)＝ 2
1 sin(2x－ 2
)＋1
答案：B
4.函数 y＝3sin(2x＋ 3
)的图象，可由 y＝sinx 的图象经过下述哪种变换而得到 (
)
A.向右平移 3
个单位，横坐标缩小到原来的 2
1 倍，纵坐标扩大到原来的3倍
B.向左平移 3
个单位，横坐标缩小到原来的 2
1 倍，纵坐标扩大到原来的3倍
C.向右平移 6
个单位，横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标缩小到原来的 3
1 倍
D.向左平移 6
个单位，横坐标缩小到原来的 2
1 倍，纵坐标缩小到原来的 3
1 倍
答案：B
评述：由y＝sinx的图象变换出 y＝sin(ωx＋ )的图象一般有两个途径，只有区别
开这两个途径，才能灵活进行图象变换.
途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)
先将 y＝sinx的图象向左( ＞0)或向右( ＜0＝平移｜ ｜个单位，再将图象上各
点的横坐标变为原来的
1 倍(ω＞0)，便得y＝sin(ωx＋ )的图象.
途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换.
先将 y＝sinx的图象上各点的横坐标变为原来的
1 倍(ω＞0),再沿 x轴向左( ＞0)
或向右( ＜0＝平移
|| 个单位，便得y＝sin(ωx＋ )的图象.
5.由 y＝Asin(ωx＋ )的图象求其函数式
对于给定函数式y＝Asin(ωx＋ )，利用“五点法”作出其一个周期内的图象，同学
们是较熟悉的.然而，对于这类问题的逆向问题，即给定函数 y＝Asin(ωx＋ )的图象而
反求其函数式的问题，是同学们较少考虑但又确实存在的一种问题.
一般来说，在这类由图象求函数式的问题中，如对所求函数式中的A、ω、 不加限制
(如 A、ω的正负，角 的范围等)，那么所求的函数式应有无数多个不同的形式(这是由于
所求函数是周期函数所致)，因此这类问题多以选择题的形式出现，我们解这类题的方法往
往因题而异，但逆用“五点法”作图的思想却渗透在各不同解法之中.
［例1］已知如图是函数y＝2sin(ωx＋ )(｜ ｜＜ 2
＝的图象，那么( )
A.ω＝ 11
10 ， ＝ 6
B.ω＝ 11
10 ， ＝－ 6
C.ω＝2， ＝ 6
D.ω＝2， ＝－ 6
解析：由图可知，点(0，1)和点( 12
11 ，0)都是图象上的点.
将点(0，1)的坐标代入待定的函数式中，得 2sin ＝1，即 sin ＝ 2
1 ，又｜ ｜
＜ 2
，∴ ＝ 6
又由“五点法”作图可知，点( 12
11 ，0)是“第五点”，所以 ωx＋ ＝2π，即 ω·
12
11 π＋ 6
＝2π，解之得ω＝2，故选C.
解此题时，若能充分利用图象与函数式之间的联系，则也可用排除法来巧妙求解，即：
解：观察各选择答案可知，应有ω＞0
观察图象可看出，应有T＝
2 ＜2π，∴ω＞1
故可排除 A与 B
由图象还可看出，函数 y＝2sin(ωx＋ )的图象是由函数 y＝2sinωx的图象向左移
而得到的
∴ ＞0，又可排除D，故选C.
答案：C
［例 2］已知函数 y＝Asin(ωx＋ )，在同一周期内，当 x＝ 9
时函数取得最大值
2，当x＝ 9
4 时函数取得最小值－2，则该函数的解析式为( )
A.y＝2sin(3x－ 6
) B.y＝2sin(3x＋ 6
)
C.y＝2sin( 3
x ＋ 6
) D.y＝2sin( 3
x － 6
)
解析：由题设可知，所求函数的图象如图所示，点( 9
，2)
和点( 9
4 ，－2)都是图象上的点，且由“五点法”作图可知，
这两点分别是“第二点”和“第四点”，所以应有：
2
3
9
4
129
解得
6
3
答案：B
●教学后记
/6
