0 0 类别 : 教案

等比数列教案 　　教学目标 　　 1．理解并掌握等比数列的定义、通项公式及其初步应用；领略 “递推”的思想方法． 　　 2．通过公式的探求，引导学生学习观察、类比、猜测等合情推理方 法，提高学生分析、综合、抽象、概括等逻辑思维能力． 　　 3．通过教证明、教猜想，学生领会数学的严谨性和探索精神，培 养学生实事求是的科学态度和积极参与的主动精神． 　　教学重点和难点 　　等比数列定义、通项公式及其一般形式的探求． 　　教学过程设计 　　师：请同学们回忆等差数列是怎么定义的？通项公式是什么？怎样 证明？ 　　生 1：定义是：如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的 差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫公差，用 d 表示． 　　 (生 1语言表述，老师代为写出)an－an-1=d，n=2，3，…． 　　生 2：通项公式是 an=a1＋(n－1)d，n=2，3，…． 　　师：作为“通项”公式，应对所有项适合，是这样吗？ 　　生 3：当 n=1时，左边=a1，右边=a1＋(1－1)d=a1＋0=a1，适合．所 以通项公式为 an=a1＋(n－1)d，n=1，2，3，…． 　　师：哪位同学能证明？ 　　生 4：(板书)在 an－an-1=d中．命下标取 2，3，…，n－1，n，得 　　 a2－a1=d 　　 a3－a2=d 　　 a4－a3=d 　　…… 　　 　　所以 an=a1＋(n－1)d． 　　生 5：也可采用“连续代入”的方法：(生 5口述，师板书)由 an－ an-1=d，得 an 　　 =an-1＋d=an-2＋2d(注意下标与 d的系数的关系)=an-3＋3d=…=a1＋(n －1)d． 　　师：非常好！这就是严格的证明了．请注意，把定义改写为 an=an-1 ＋d就是“递推关系”了，它有“顺次递推”的功能，生 5的证法就是 巧用了这个功能． 　　 (这里，“复习”不是单纯地对“知识”的回顾，而是通过对知识 产生过程的反思，起到承上启下的作用，为本课反复运用的类比打下了 基础，这里，通过对教材的略加变通(一是检验了 n=1的情形；二是严 格推导)，把教材中原本仅是猜想(但学生常误认为是证明)的东西，给出 了严格的证明，而且获得了“错位相消”和“连续代入”两种重要技 巧) 　　师：请同学们观察如下两个数列(投影仪打出)： 　　 (Ⅰ)5，25，125，625，… 　　 　　有什么特点？它们是等差数列吗？ 　　 　　 　　师：共同特点是什么？可仿“等差数列”来描述． 　　生 6：从第二项起，每一项与它前一项的商都等于同一个常数．(师 板书) 　　师：好，上述两个数列都具有很好的特点，它和等差数列一样，是 一类重要的数列，谁能为这样的数列起个名字吗？ 　　生 7：叫“等商数列”． 　　师：可以，但“每一项与它前一项的商”应说成“每一项除以它的 前一项的商”．还可怎样说？ 　　生 8：可以说成“每一项与它前一项的比”．噢，那就叫“等比数 列”． 　　师：好！两种说法都正确，请完整地叙述一下． 　　生：如果一个数列( )从第 2项起( )，每一项( )与它前一项( )的比等 于同一个常数( )，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数( )叫做公比． 　　 (在学生叙述时，老师板书，并有意识地留下了空隙．学生说完之 后，同大家商 　　师：等比数列的定义还可以用怎样的数学式子来刻划？ 　　 　　师：以上我们学习了等比数列的定义．等比数列的定义可作为判断 一个数列是否是等比数列的依据． 　　请考虑如下数列是否是等比数列(投影仪打出)： 　　 　　② 1，2，4，8，12，16，20，…； 　　 　　④ 1，1，1，…，1； 　　⑤ a，a，a，…，a． 　　 (生口答，师板书) 　　 　　 　　师：你能求出 a1999=？ 　　 　　师：好！谁来回答④和⑤？ 　　 　　 　　师：有不同意见吗？ 　　生 13：④是等比数列；对⑤，当 a≠0时，⑤是等比数列；当 a=0 时，⑤不是等比数列． 　　师：很好！由此联想到什么？关于等比数列的项和公比有何限制？ 　　生 14：an≠0，q是非零常数． 　　师：有没有既是等差又是等比数列的数列？ 　　生 15：有，就是非零常数列． 　　 (让学生自行通过观察、类比、综合得到定义，自行命名，这是尊重 学生的主体地位，强化学生主体意识；通过讨论定义，把普通语言译成 符号语言，体现了数学的特点，手把手教将数学“符号化”的能力，这 非常重要；通过实例尝试，而不是通过“嘱咐”让学生认识等比数列是 非零数列(an≠0，q≠0)，这样做效果好) 　　 　　 (绝大部分学生在加紧演算，但似有难色) 　　生 16：求 a6，a7等是可以的，但 a1999不可能很快求出． 　　师：前面③中的 a1999这么容易求出，而这里的 a1999却不易求出，原 因何在？ 　　生 16：③中已给出通项公式，而这里未给出通项公式． 　　师：看来，要很快地求出本题中的 a1999，首先要探求等比数列的通 项公式．那么等比数列的通项公式是怎样的呢？能否试着求出 a2，a3，a4？从中能否得到某种启示？ 　　生 17：a2=a1q，a3=a2q=a1q2，a4=a3q=a1q3，猜想 an=a1qn-1． 　　师：生 17提出了等比数列通项公式的一个猜想，让我们用本课开 始时给出的两个等比数列加以验证． 　　生 18：对(Ⅰ)，按此猜想应有 an=5·5n-1=5n，则 a1=5，a2=25，a3=125，a4=625．正确！ 　　 　　师：通过上述二例的验证，进一步增强了猜想的可信度，但要肯定 它正确，必须证明．哪位同学来证明？请上黑板． 　　师：生 19利用迭乘的方法证明了猜想的正确性，这种迭乘消去的 方法在这里体现了极大的优越性，应当引起我们的重视．当然迭乘法不 是证明通项公式的唯一方法，等我们学完了数学归纳法以后，我们还可 以利用数学归纳法对其给出证明．我们把这个结果称为等比数列的通项 公式，即 an=a1qn-1((a1≠0，q≠0，n∈N＋)． 　　有了等比数列的通项公式以后，刚才问题中的 a1999已不难求出了， 谁来求一下？ 　　 　　师：生 20求解的结果是对的，为了使我们更好地理解和运用公式， 请同学们一起来分析公式有什么特点？ 　　生 21：左端是通项，右端是 a1乘以 q的一个幂．这时 a1的下标与 q 的指数和等于 n． 　　生 22：公式中含有 an，a1，q和 n四个量，知其中三个可求出第四 个． 　　师：这同等差数列的通项公式是类似的(均是知三求一)，请再对比 一下(我们换个字母)． 　　 an=a1＋(n－1)d，bn=b1·qn-1． 　　还有进一步的关系吗？ 　　生 23：在等差数列通项公式中，a1的下标与 d的系数之和等于 n． 噢，对了，由此我们导出了 an=am＋(n－m)d． 　　这里我类似地猜想，是否有 bn=bm· qn-m．(bm≠0，q≠0，n，m∈N ＋，n＞m)(*)．(师板书) 　　师：有道理，又是一个大胆的猜想！但这仅仅是猜想，谁能给出证 明？ 　　生 23：(生 23口述，师板书)由通项公式得：bn=b1·qn- 1，bm=b1·qm-1， 　　 　　师：很好！证明完成得干脆利落．请思考这个公式能包含前面所得 的通项公式吗？ 　　生 24：能．当m=1时，即得 bn=b1·qn-1． 　　师：由此可见(*)式更具有一般性，但是，(*)式中必须要有“n＞ m”这个条件吗？ 　　生 25：不必．(生 25口述，师板书)当m=n时，左=bn，右=bn·qn- n=bn．故 　　师：如此看来，这个公式该怎样写？ 　　生 25：应写成 bn=bm·qn-m(bm≠0，q≠0，n，m∈N＋)． 　　师：非常好！有关公式的应用，我们将在下节课探索．另外，假定 bn＞0，请课后进一步思考：能否构造一个与等比数列｛bn｝有关的等差 数列｛an｝？ 　　 (“观察—归纳—猜想—演绎证明”是一条很好的教学思路，但不 见得每种情况都用，这里，由于同等差数列强烈的类比，学生已猜想出 推导等比数列通项公式的大体思路，因而采用“类比”的方法，一举推 导出来了，加速了思维过程，教师也“顺水推舟”，这自然是很好的) 　　师：下面我们对今天这节课作一简单的小结(学生小结，师生共同 完善)． 　　 1．通过分析、综合、抽象、概括，我们给等比数列下了定义，又共 同探索获得了等比数列的通项公式及其一般形式． 　　 2．又一次体会到了观察、类比、猜测、证明等合情推理与逻辑推理 方法在探索、发现知识方面的作用，提高了我们分析、综合、抽象、概括的 思维能力． 　　课堂教学设计说明 　　 1．关于教学目标的制定 　　未来社会对人才素质的要求是多方面的，因此，在全面推进素质教 育的今天，课堂教学的目标应该是多元化的． 　　 (1)数列的概念、通项公式是本章的重点之一，因此，作为等比数列 的起始课，理所当然地应将等比数列的定义，通项公式以及等比数列的 判定作为教学目标之一． 　　 (2)合情推理方法的运用，逻辑思维能力的提高以及良好个性品质 的培养，这是教学大纲要求高中数学教学达到的一个显著目标，这里教 学目标 2和 3的制定，正是据于这样的大纲精神． 　　 2．关于教学重点和难点的确定 　　从全面提高学生的素质考虑，本节课把等比数列定义及通项公式的 探索、发现、创新等思维过程的暴露，知识形成过程的揭示作为教学重点， 同时，由于“思维过程的暴露，知识形成过程的揭示”不像将知识点和 盘托出那么容易，而是要求教师精心设计问题层次，由浅入深，循序渐 进，不断地激发学生思维的积极性和创造性，使学生自行发现知识． “创造”知识．这是对教师，也是对学生高层次的要求，因而是教学的 难点之一． 　　 3．关于教学方法的选择 　　教师是教学的主导，学生是学习的主体，如何根据教材内容，创设 良好的教学情况，引导学生积极主动地参与课堂教学的全过程，使学生 在开放、民主、愉悦、和谐的教学氛围中获取新知，是教师设计教法时所 必须认真考虑的．在讲本节课内容之前，学生对数列，特别是等差数列 的定义、通项公式等知识内容及其探求的思路，已有了较深刻的理解． 而等比数列的有关知识内容的探求思路与等差数列是类似的，因此采用 启发式、谈话式的教学方法，引导学生进行类比推理可以使学生不知不 觉地参与教学的全过程，为使学生自己探索发现等比数列的有关知识营 造了良好的氛围． 　　 4．关于教学过程的设计 　　本节课按如下四个方面展开： 　　 (1)复习等差数列的定义，通项公式及探索思路； 　　 (2)等比数列的定义及其几个特例的判定； 　　 (3)等比数列通项公式的探求； 　　 (4)通项公式的一般形式． 　　有意识地引导学生复习等差数列的定义及其通项公式的探求思路， 一方面使学生温故旧知识，另一方面使学生通过联想，为类比地探索等 比数列的定义、通项公式奠定基础． 　　通过引导学生对几个具体数列特点的探索，然后一般地归纳这类数 列的特点，进而给出等比数列的定义，并将其数学符号化，再对几个具 体数列进行鉴别，旨在遵循“特殊——一般——特殊”的认识规律，使 学生体会观察、类比、归纳等合情推理方法的运用．培养学生观察分析能 力，抽象概括能力． 　　继引导学生为等比数列下定义之后，探索等比数列的通项公式又是 一个重点．这里，我们通过引导学生试着求出 a2，a3，a4，进而归纳猜 想出 an=a1qn-1，然后进行检验证明，即通过既教证明，又教猜想，旨在 揭示科学实验的规律，从而暴露知识的形成过程，体现数学发现的本质， 培养学生合情推理能力、逻辑推理能力、科学的思维方式、实事求是的科 学态度及勇于探索的精神等个性品质． 　　试验——猜想——验证——证明，这是探求真理的有效途径之一． 试求几个简单的结果是必要的，它是猜想的依据，正如波利亚指出的那 样：“首先尝试最简单的情形是有道理的．即使我们被迫最后返回到一 种比较周密的较为复杂性研究，那以前最简单情形的研究也可以当作一 种有用的准备．”从某种意义上说，猜想是发现的先导，验证猜想的正 确性可使猜想变得更可靠，而经过证明正确了的命题终于使猜想变为了 真理．这一过程中，各类学生都有问题可想，有话可说，有事可做，学 生的思维积极性被极大地调动了起来． 　　通项公式的一般形式 an=am·qn-m(am≠0，q≠0，n，m∈N＋)的探求， 一方面是前面得出的通项公式的简单应用；另一方面是对求出的通项公 式的推广，特别是限制条件“n＞m”的去掉，具有一定的创造性，是 值得鼓励和称赞的． 　　学生自觉、主动地要求获取知识与教师向学生灌输知识的效果是截 然不同的．如何激发学生的求知欲是教学设计中必须注意的一个问题． 在引导学生探索等比数列通项公式时，我们通过对一个例子中 a1999求解 困境的设置，以激发学生探求等比数列通项公式的欲望．这显然要比直 接告诉学生“通项公式多么重要”更有说服力． 　　值得一提的是，本节课的教学中，我们不但教学生进行知识(等差 数列与等比数列)的类比，而且还教学生方法(探求问题的思路)的类比． 这里的“教”，实际上是启发引导学生“想”与“说”，这是符合“重 视知识的产生、发展与深化过程”的现代教学原则的．