指数函数的性质应用教案
●教学目标
(一)教学知识点
1.指数形式的复合函数.
2.指数形式复合函数的单调性.
3.指数形式复合函数的奇偶性.
(二)能力训练要求
1.掌握指数形式的复合函数的单调性的证明方法.
2.掌握指数形式的复合函数的奇偶性的证明方法.
3.培养学生的数学应用意识.
(三)德育渗透目标
1.认识从特殊到一般的研究方法.
2.用联系的观点看问题.
3.了解数学在生产实际中的应用.
●教学重点
1.函数单调性的证明通法.
2.函数奇偶性的证明通法.
●教学难点
指数函数的性质应用.
●教学方法
启发式
启发学生运用证明函数单调性的基本步骤对指数形式的复合函数的单调性
进行证明，但应在变形这一关键步骤帮助学生总结、归纳有关指数形式的函数变
形技巧，以利于下一步的判断.
在运用证明函数奇偶性的基本步骤对指数形式的复合函数的奇偶性证明时，
应提醒学生考查函数的定义域是否关于原点对称，以培养学生的定义域意识，
并引导学生得指数形式的复合函数判断奇偶性的常用等价形式，以帮助学生形
成系统的知识 结构 .
●教具准备
投影片三张
第一张：判断及证明函数单调性的基本步骤、判断及证明函数奇偶性的基本
步骤(记作
§２.６.３ Ａ）
第二张：例5证明过程(记作§２.６.３ B)
第三张：例6证明过程(记作§２.６.３ C)
●教学过程
Ⅰ.复习回顾
［师］上一节，我们一起学习了指数函数的性质应用，这一节，我们学习
指数形式的复合函数的单调性、奇偶性的证明方法.首先，大家来回顾一下第二
章第一单元所学的证明函数单调性、奇偶性的基本步骤.
［生］判断及证明函数单调性的基本步骤：
假设→作差→变形→判断.
［生］判断及证明函数奇偶性的基本步骤：
(1)考查函数定义域是否关于原点对称；
(2)比较ｆ（－ｘ）与ｆ（ｘ）或者－ｆ（ｘ）的关系；
(3)根据函数奇偶性定义得出结论.
(给出投影片§２.６.３ A，老师结合投影片内容加以强调说明).
［师］在函数单调性的证明过程中，“变形”是一关键步骤，变形的目的
是为了易于判断，判断有两层含义：一是对差式正负的判断；二是对增减函数
定义的判断.
另外，在函数奇偶性的判断及证明过程中，定义域的考查容易被大家忽略，
而函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件，大家应予以重视.
下面，我们通过例题来一起熟悉并掌握证明函数单调性，奇偶性的方法.
Ⅱ.讲授新课
［例5］当a＞1时，证明函数f(x)= 1
1
x
x
a
a 是奇函数.
分析：此题证明的结构仍是函数奇偶性的证明，但在证明过程中的恒等变
形用到推广的实数范围内的指数幂运算性质.同时，应注意首先考查函数的定义
域.
证明：由ax-1≠0 得 x≠0
故函数定义域｛x｜x≠0｝关于原点对称.
又 f(-x)= 1
1
1
1
)1(
)1(
1
1
x
x
x
x
xx
xx
x
x
a
a
a
a
aa
aa
a
a
)(xf - 1
1
x
x
a
a
∴f(-x)=-f(x)
所以函数f(x)= 1
1
x
x
a
a 是奇函数.
［师］对于ｆ（－ｘ）与ｆ（ｘ）关系的判断，也可采用如下证法：
)(
)(
xf
xf 11
1
1
1
xx
xx
x
x
x
x
aa
aa
a
a
a
a
即ｆ（－ｘ）＝－ｆ（ｘ）
评述：对于指数形式的复合函数的奇偶性的证明，常利用如下的变形等价
形式：
1)(
)()()( xf
xfxfxf （ｆ（ｘ）≠０），
1)(
)()()( xf
xfxfxf （ｆ（ｘ）≠０）.
这种变形的等价形式主要是便于实数指数幂运算性质，要求学生在解决相
关类型题时，予以尝试和体会.
［例6］设a是实数，f(x)=a- 12
2
x (x∈R)
(1)试证明对于任意a,f(x)为增函数；
(2)试确定a值，使 f(x)为奇函数.
分析：此题的形式较为复杂，但应严格按照单调性、奇偶性的定义进行证明
还应要求学生注意不同题型的解答方法.
(1)证明：设x1,x2∈R,且 x1＜x2
则 f(x1)-f(x2)=（ )12
2()12
2
21 xx aa
)12)(12(
)22(2
12
2
12
2
21
21
12
xx
xx
xx
由于指数函数 y=2x在 R上是增函数，且 x1＜x2,所以 12 x ＜ 22 x
即 12 x - 22 x ＜0
又由2x＞0得 12 x +1＞0， 22 x +1＞0
所以f(x1)-f(x2)＜0
即 f(x1)＜f(x2)
因为此结论与a取值无关，所以对于a取任意实数，f(x)为增函数.
评述：上述证明过程中，对差式正负判断时，利用了指数函数的值域及单
调性.
(2)解：若 f(x)为奇函数，则 f(-x)=-f(x)
即 )12
2(12
2
xx aa
变形得: 12
)12(2
12
2
2)12(
222
x
x
xxx
x
a
解得a=1
所以当a=1时，f(x)为奇函数.
评述：此题并非直接确定a值，而是由已知条件逐步推导 a值.应要求学生
适应这种探索性题型.
Ⅲ.课堂练习
已知函数 f(x)为偶函数，当 x∈(0,+∞)时，f(x)=-2x+1,求当 x∈(-∞，0)
时，f(x)的
解析式.
解：设ｘ∈（－∞，０），则－ｘ∈（０，＋∞），由ｘ∈（０，＋∞）
时，
ｆ（ｘ）＝－２ｘ＋１ 得 ｆ（－ｘ）＝－２－ｘ＋１
又由函数ｆ（ｘ）为偶函数得
ｆ（－ｘ）＝ｆ（ｘ）
∴ｆ（ｘ）＝－２－ｘ＋１.
即当ｘ∈（－∞，０）时，ｆ（ｘ）＝－２－ｘ＋１.
Ⅳ.课时小结
［师］通过本节学习，要求大家进一步熟悉指数函数的性质应用，并掌握
函数单调性.奇偶性证明的通法.
Ⅴ.课后作业
（一）1.课本 P79习题2.6
4.求证：
(1) 2)(
xx aaxf
（ａ＞０，ａ≠１）是奇函数；
(2)ｆ（ｘ）＝ 1
)1(
x
x
a
xa （ａ＞０，ａ≠１）是偶函数.
证明：(1)∵ )(22)( xf
aaaaxf
xxxx
即ｆ（－ｘ）＝－ｆ（ｘ），
故ｆ（ｘ）＝ 2
xx aa 是奇函数.
(2)ｆ（－ｘ）＝ )(1
)1(
1
)1(
1
))(1( xfa
a
a
a
a
xa
x
xx
x
xx
x
x
即ｆ（－ｘ）＝ｆ（ｘ），
故ｆ（ｘ）＝ 1
)1(
x
x
a
xa 是偶函数.
2.已知函数f(x)= 12
12
x
x
，
(1)判断函数f(x)的奇偶性；
(2)求证函数f(x)在(-∞,+∞)上是增函数.
(1)解：首先考查函数定义域 R，故定义域关于原点对称.
又∵ )(12
12
21
21
2)12(
2)12(
12
12)( xfxf x
x
x
x
xx
xx
x
x
即ｆ（－ｘ）＝－ｆ（ｘ）
∴ｆ（ｘ）是奇函数.
(2)证明：设ｘ１＜ｘ２，则
)12)(12(
)22(2
)12)(12(
1222212222
)12)(12(
)12)(12()12)(12(
12
12
12
12)()(
21
21
21
12212121
21
1221
2
2
1
1
21
xx
xx
xx
xxxxxxxx
xx
xxxx
x
x
x
x
xfxf
∵ｘ１＜ｘ２
∴ 022,22 2121 xxxx
又∵２＞０， 012,012 21 xx
∴ 0)12)(12(
)22(2
21
21
xx
xx
∴ｆ（ｘ 1）－ｆ（ｘ２）＜０
即ｆ（ｘ１）＜ｆ（ｘ２）
∴ｆ（ｘ）在（－∞，＋∞）上是增函数.
（二）1.预习内容：课本 P80
2.预习提纲：
(1)对数与指数有何联系?
(2)对数式与指数式如何互化?
●板书设计
§2.6.3 指数函数的性质应用(二)
1.单调性证明通法：
比较自变量大小与相
应函数值大小是具有一致
性，还是
相反性.
2.奇偶性证明通法
①考查定义域
②比较ｆ（－ｘ），
ｆ（ｘ），－ｆ（ｘ）
三者的关系
3.［例5］
4.［例6］
5.学生练习
/5
