§2.9.3 函数的应用举例教案
●教学目标
（一）教学知识点
1.数学建模的基本思想.
2.有关物理问题的数学模型.
（二）能力训练要求
1.使学生适应各学科的横向联系.
2.能够建立一些物理问题的数学模型.
3.培养学生分析问题、解决问题的能力.
（三）德育渗透目标
1.用联系的观点看问题.
2.能够将生产实际、物理研究中的某些问题用数学知识、数学方法进行解决.
●教学重点
数学建模的方法
●教学难点
如何把实际问题抽象为数学问题
●教学方法
自学辅导法
在前几节学生了解数学建模基本思想及数学建模一般步骤的基础上，直接给出学生例
题，要求学习通过审题，自己抽象出其中的数量关系，在通过老师的帮助加以确认之后，
再着手进行纯数学问题的解决，最后在老师的引导下，把握好由数学问题的解向实际问题
的还原.
引导学生在研究例 6的过程中，了解函数思想在解决物理问题时所发挥的作用，同时对高
考中具有导向意义的题目有所认识，了解高考命题趋势的发展.
●教具准备
投影片
第一张：例题5（记作§2.9.3 A）
第二张：例题6（记作§2.9.3 B）
●教学过程
Ⅰ.复习回顾
［师］上一节课，我们主要学习了有关增长率的数学模型，这种模型在有关产量、产值、
粮食、人口等等增长问题常被用到.这一节，我们学习有关物理问题的数学模型.
Ⅱ.讲授新课
［例5］设在海拔x m处的大气压强是y Pa，y与 x之间的函数关系式是y=cekx，其中
c、k为常量.已知某地某天在海平面的大气压为 1.01×105 Pa，1000 m 高空的大气压为
0.90×105 Pa.求 600 m高空的大气压强（结果保留3个有效数字）.
分析：解决此题，应排除题中专业术语的干扰，抽象概括出数量关系，准确地转化成
数学表达式.
解：将x=0,y=1.01×105,x=1000,y=0.90×105
分别代入函数式y=cekx，
得
k
k
ce
ce
10005
05
1090.0
1001.1
解之得
4
5
1015.1
1001.1
k
c
∴函数式y=1.01×105× xe 41015.1
将x=600代入上述函数式得
y=1.01×105×e-1.15×10-4×600
由计算器算得y=0.943×105(Pa)
答：在600 m高空的大气压约为0.943×105 Pa.
评述：（1）此题利用数学模型解决物理问题；（2）需由已知条件先确定函数式；
（3）此题实质为已知自变量的值，求对应的函数值的数学问题；（4）此题要求学生能借
助计算器进行比较复杂的运算.
例 6：在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得 n次测量分别得到a1,a2,
……,an共n个数据，我们规定所测量的物理量的“最佳近似值”a是这样一个量：与其他
近似值比较 a与各数据差的平方和最小.依次规定，从 a1,a2,a3,……an推出的a=________.
(1994年全国高考试题)
分析：此题应排除物理因素的干扰，抓准题中的数量关系，将问题转化为函数求最
值问题.
解：由题意可知，所求a应使y=(a-a1)2+(a-a2)2+…+(a-an)2最小
由于 y=na2-2(a1+a2+…+an)a+(a12+a22+…+an2)
若把a看作自变量，则 y是关于 a的二次函数，于是问题转化为求二次函数的最小值.
因为 n＞0,二次函数 f(a)图象开口方向向上.
当 a= n
1 (a1+a2+…+an)，y有最小值.
所以a= n
1 (a1+a2+…+an)即为所求.
评述：此题在高考中是具有导向意义的试题，它以物理知识和简单数学知识为基础，
并以物理学科中的统计问题为背景，给出一个新的定义，要求学生读懂题目，抽象其中的
数量关系，将文字语言转化为符号语言，即
y=(a-a1)2+(a-a2)2+…+(a-an)2然后运用函数的思想、方法去解决问题，解题关键是将函
数式化成以a为自变量的二次函数形式，这是函数思想在解决实际问题中的应用.
Ⅲ.课堂练习
课本P93习题2.9 5
某种放射性元素的原子数 N随时间 t的变化规律是 N=N0e-λt,其中 N0，λ是正的常数.
（1）说明函数是增函数还是减函数；（2）把 t表示成原子数 N的函数；（3）求当N=
(由计算器算得)
2
0N 时，t的值.
解：（1）由于N0＞0,λ＞0，函数 N=N0e-λt是属于指数函数 y=e-x类型的，所以它是减
函数，即原子数 N的值随时间 t的增大而减少
（2）将 N=N0e-λt写成e-λt=
0N
N
根据对数的定义有-λt=ln
0N
N
所以 t=-
1 (lnN-lnN0)=
1 (lnN0-lnN)
(3)把 N= 2
0N 代入 t=
1 (lnN0-lnN)得 t=
1 (lnN0-ln 2
0N )
=
1 (lnN0-lnN0+ln2)=
1 ln2.
Ⅳ.课时小结
［师］通过本节学习，进一步熟悉数学建模的方法，能运用数学模型解决一定的关于
物理的实际问题，提高解决数学应用题的应变能力.
Ⅴ.课后作业
（一）课本P93习题2.9 6
（二）1.预习内容：P94～P95
2.预习提纲：（1）实习作业的要求；（2）实习报告的内容.
●板书设计
§2.9.3 函数应用举例
例5 例 6
评述 评述 学生练习
解答 解答
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