指数函数的图像和性质教案
教学目的
使学生初步掌握指数函数的图像和性质；培养学生观察和归
纳的能力以及数形结合的能力．
教学过程
一、从实际问题引入指数函数概念
师：请大家思考这样一个问题：
某种细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个，第2次由2个分
裂成4个，第3次由4个分裂成8个，如此下去，如果第x次分裂
得到y个细胞，那么细胞个数y与次数x的函数关系式是什么？
师：再思考下面一个问题：
一种放射性物质不断变化成其他物质，每经过一年的残留量
是原来的84％，那么以时间x年为自变量，残留量y的函数关系
式是什么？
(学生经过思考得出：
x、y和2以及x、y和0.84构造出两个幂函数来．
师：这两类函数有什么区别呢？
数位置上．
[学生对幂函数和指数函数容易混淆，在引入新课时指出两者
的区别，有助于今后的学习．]
(板书课题．)
师：我们在学习指数运算时已经知道，指数x可以是正整数、
负整数和零，也可
定的实数，因此指数x可以取全体实数．
要求？大家可以先举几个例子作试验，看一看底是哪些数时，
指数不能取全体实数，底是哪些数时，指数可以取全体实数．
理由，然后教师启发学生归纳出对a的取值的规定及其理由．
如果学生归纳时只能得出a＞0，教师就补上a≠1．]
师：(启发学生总结)为什么规定a＞0且a≠1呢？如果不这
样规定会出现什么情况呢？
因此，为了避免上述情况，并保证定义域是全体实数，我们
规定a＞0且a≠1．
下面，请同学们说说指数函数的定义．
[定义的引入是经过“实际问题→与幂函数比较→对底数a的
讨论”三步完成的．一个新概念的引入，往往是为了解决实际问
题和理论问题，而且往往经历由感性到理性的抽象概括过程，指
数函数的定义就是这样．]
二、通过图像研究指数函数的性质
师：下面我们来研究指数函数的性质．大家先想一想，对函
数通常研究哪些性质？
生：定义域、值域、奇偶性、单调性和图像．
师：好！对于指数函数，我们就先研究这几个问题．
[让学生对所学习的目标有一个整体的认识．]
师：我们已经知道指数函数的定义了，那么它的定义域呢？
生：实数集．
师：为了帮助我们更好地研究指数函数的其他性质，我们先
画出指数函数的图像．
[学生画图像，教师巡视．教师用画有坐标系的黑板把画图像
的过程演示一遍，
a＞1和0＜a＜1时的图像的示意图．]
师：现在我们利用指数函数的图像来观察指数函数的性质．
先观察值域．
生：y＞0．因为图像都在x轴的上方．
师：奇偶性呢？
生：非奇非偶函数．
师：从图像上怎么看出的？
生：图像既不关于原点对称，也不关于y轴对称．
师：那么，怎样从图像观察函数的单调性呢？
一个共同的点，这是哪一点呢？
生：点(0，1)．
师：点(0，1)是个关键点，以这个点为分界，从图像中可以
看出y值变化的范围．大家能不能看出来？先看a＞1时的图像．
生：a＞1时，在第一象限的y值大于1，第二象限的y值小
于1，即 a＞1时，若 x＞0，则 y＞1；若 x＜0，则 0＜y＜1．
师：0＜a＜1呢？
(学生回答出相应的结论．教师在启发学生观察指数函数的图
像及其性质的同时进行下面的板书．)
[研究指数函数的性质是这节课的教学重点，本节课是紧紧围
绕着指数函数的图像进行的．先画出图像，然后通过图像观察指
数函数的性质．因为人在观察中，总是有选择地以少数事物作为
知觉对象，对这些少数对象往往知觉得比较清晰，从而由此出发
去感知其他事物．让学生的注意力集中地指向与所研究的目的密
切相关的图像，就会加深感受性．]
三、通过“多通道协同记忆法”记忆指数函数的性质
师：我们研究了指数函数的定义域、值域、奇偶性、单调性和数
值变化等性质，现在请同学们阅读并记住这些性质．
[教师用几分钟的时间让学生阅读和记忆所学的知识是必要的．
根据艾宾浩斯的遗忘曲线，遗忘的过程有先快后慢的特点，不重
要的和未经复习的内容容易遗忘，而强烈的记忆意图会产生注意
力集中的效果，因此及时强化记忆，趁热打铁是巩固记忆的一种
重要手段．]
师：大家说，指数函数的性质哪一条不好记？
(学生议论，大多数认为数值变化情况这一条不好记．)
师：那么怎么能记住这一条性质呢？
生：通过图像来记忆．
师：还有没有其他办法，大家再想一想．
师：这个办法很好，把数值变化与指数函数的单调性结合起
来了，这就是说，如果记不住指数函数的数值变化规律，利用指
数函数的单调性也可以得到．
师：还有其他办法吗？我们知道，a与1有关，x与0有关，
y与1有关，如果分别把 a，x，y；1，0，1写成两行，中间用大
于或小于号连接(板书如下)，那么大家能发现什么规律吗？
(同学们经过研究，可以发现一个记住这条性质的办法：即 a
和 x同时取大于或小于号时，y取大于号；一个取大于号，一个取
小于号时，y取小于号．)
[学生对于指数函数的数值变化这条性质不容易记住，也容易
混淆，在这里花一点时间，让学生抓住记忆的关键点，找出记忆
的规律，采取多种渠道进行记忆，不仅可以培养学生的记忆能力，
而且可以减轻课堂教学短时记忆的压力．同时，也可以稍稍放慢
一些教学节奏，使教学有张有弛．]
四、通过例题掌握指数函数的性质
[例1] 比较下列各组数的大小：
[本题主要是帮助学生掌握指数函数的单调性和数值变化．其
中(1)、(2)两题学生
难，教师可先启发学生解出第(4)题，再让学生解(5)、(6)两
题．]
性质来比较大小，所以需要借助“桥梁”，这座桥梁的架设
应考虑能够利用幂函数和指数函数的性质，即设法构造出与已知
底数相同或指数相同的数进行比较．
[例2] 指出下列不等式中 a的范围：
(本题是指数函数与幂函数性质的逆向应用．解略．)
[逆向思维的训练是数学思维训练的一个重要方面．在平时的教学
中，教师应随时注重对学生的逆向思维能力的培养．]
师：这节课我们学习了指数函数的定义、图像和性质，这些性质是
通过对图像的观察得到的，那么这些性质能不能用推理的方法得到呢？
例如，怎样证明指数函数是非奇非偶函数？怎样利用指数函数的值域和
数值变化证明指数函数的单调性等等，请同学们在课后思考．
[课堂结束语不仅是对内容的概括，还应引导学生对学习的内容进
行更深入的思考，为下节课的学习留下悬念．]
五、布置作业
阅读课本有关内容．
课本习题：略．
研究题：
教案说明
(1)数形结合是数学教学的一个重要观点．根据数形结合的观点，
可以通过对数量关系的讨论来研究图形的性质，也可利用图形的性质来
反映函数(或方程)中的变量(或未知数)之间的相互关系．因此数形结合
可以使数和形相互启发，相互补充，相互印证．本课就是通过对图像的
观察来探索和记忆指数函数性质的．此外，由于本节得到的性质没有进
行论证，所以本课结束时引导学生自己进行论证，在作业中也布置了论
证的题目，在下节课(指数函数性质练习课)将对提出的问题进行研究．
(2)要把培养学生的记忆能力纳入教学计划．在本节教学中，指导
学生采用多通道协同记忆法进行意义识记，不仅可以强化记忆，而且培
养了学生综合应用知识的能力．
(3)作业中适当布置一些研究题，可以激发学生的学习兴趣，也能
满足学有余力的学生的学习要求．
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