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专题六 选修三、四中的模块分析（数学史和矩阵与变换） 第二讲 主持人：各位老师大家好！欢迎大家继续参加高中数学新课程，国家级远程培训，上一节 课，我们就选修三中的数学史进行分析，在这节课我们将就选修四的模块进行简要的分析 并选择其中的矩阵和变换做一点具体的分析。那好我们首先来介绍今天我们到场的几位嘉宾， 我身边这位是首都师范大学的 张饴慈教授（加入字幕：首都 师范大学教授 张饴慈），这 边这位是北京海淀区第十九中学的檀晋轩老师，（加入字幕：北京 19 中 市青年骨干教师 檀晋轩）那边那位是北京市八一中学的 邵文武老师（加入字幕：北京八一中学 市青年骨干 教师 邵文武）他们都是我们海淀区的骨干教师，也是海淀区的学科带头人，今天我们欢迎 大家来参加我们这个研讨，首先我们想请老师，为我们介绍一下选修四的内容。 张饴慈：选修四的这部分内容，是根据课程总体的选课进度要求来设计的。这部分的内容按 课程标准来说是要求进入高考，也就是说学生要选择这一两个专题来进行高考，不同的学 生可能选择不同的专题内容进行高考。那么根据我们当时的标准设计，这里有几部分内容： 一部分是过去高中课程里有的内容，现在把它放到了选修四。比如不等式选讲，坐标与参数 方程，还有关于几何证明选讲，这是原来中学的一些内容，对于这些中学老师都比较熟悉。 还有一部分是比较贴近实际生活中的数学应用的，比如说像 华先生最早提倡的优选法和统 筹，所以选修四有优选法与试验涉及初步，统筹法与图论初步。还有一些现在用的比较多的， 风险与决策。还有一些属于数学基本概念的，当然也有一些既是基本概念又有应用的，如开 关电路与布尔代数。还有一些属于数学上很基本的一些概念，比如说数列与差列，实际上它 讲的就是我们高中里面比较熟悉的递推公式，但是我们把它换一个层次来讲；还有就是矩 阵与变换。关于这些内容，标准是这样定位的，选修四同样是基础，还是中学生应该掌握的。 掌握很基本的一些数学概念，而且希望我们的课程一定是中学生能够接受的。 主持人： 张老师做了一个初步的介绍，那么我们也想老师关心最多的一个问题，如矩阵与 变换是大学里面线性代数的课程。现在课程标准把它安排在中学，那么是否可行性，或者您 认为什么样的定位能保证中学生的接受？ 张饴慈：我们现在对于矩阵和变换的处理方法，突出它的变换的背景。实际上矩阵与变换在 大学里面，从解方程组开始讲的，这涉及到代数运算、性质等。那么为了让中学能够接受， 我们就采用几何的背景，用矩阵表示一个变换。我们把矩阵维数限制在 2维，方便又利于学 生所掌握的知识，这样的处理方式还是能够解决当前老师所担心的问题的。 主持人： 张老师为我们把选修四目标定位、内容做了一个初步介绍，我们特别想就一个具 体的内容，如矩阵与变换，听一听两位中学的骨干教师，对这部分内容的分析。这两位老师， 对这部分内容一直有比较清晰的认识和深入的研究，也参与了一些相关教材的编写工作。我 们特别想请两位老师帮我们介绍一下矩阵和变换的定位，给我们做一个基本的分析。 邵文武：矩阵的学习，在代数的学习中有举足轻重的地位，因为从现在的大学课程来看， 无论是工科的学生，还是理科的学生都要学习线性代数的知识，特别在一些大学里面，文 科院系也开设了高等数学，线性代数也是其中一个主要的学习内容之一。有相当一部分学生 进入大学以后都要接触线性代数。矩阵是线性代数核心、基本的概念，从这个角度，新课程 把矩阵的变换引入了高中的课程。矩阵作为非常抽象的数学对象之一，如果学生能够了解清 楚，再继续学习其他的数学知识。之后，矩阵又以一个具体的例子出现。矩阵就显示出其基 础性和广泛应用性。所以我想这是专家考虑选择矩阵的主要原因之一。 檀晋轩：新课程标准把矩阵作为高中的一个选修内容，进入教学，是希望通过中学的选修 课，使得一部分对于数学有兴趣的学生，能够尽早的了解高等数学中非常重要的一些知识。 但是作为中学来进行矩阵教学，必然和大学教学是不同的。在大学，矩阵主要是作为一种抽 象的对象，重点研究它的运算性质。在高中阶段，矩阵的学习限制在二阶方阵。二阶方阵与 平面向量的乘法有着非常明显的几何意义和背景，所以我想在高中阶段开设矩阵应该更加 突出几何的意义和背景。从这个角度，加深学生对于矩阵运算的一些性质的理解。 邵文武：这门课在高中开设，肯定跟在大学开设肯定是不同的。我们开设这门课，归根到底 是讲矩阵，把矩阵作为数学对象来进行研究。但是矩阵非常抽象，对高中生的知识和接受能 力，有一定的挑战。所以我们讲矩阵，要改变一些角度，从变换这个角度去讲，突出其几何 背景。通过几何背景，使学生对矩阵的认识更直观、形象。这门课和其他的几何课是有区别的， 比如说解析几何，我们实际是用代数的方法来研究几何；而矩阵与变换，是借助几何的背 景来研究代数的知识。 檀晋轩：矩阵作为一种新的对象，对于高中生来讲，很多方面会感到困惑。如矩阵的运算定 律是非常新颖的一种形式，对于这样一种运算，它有很多独特的运用。运算对象所对应的运 算性质也发生了很多的变化，如乘法不交换性等等。这些内容是学生比较陌生的，会有一些 困惑。在矩阵作为变换的角度来讲，它涉及到很多不变的性质，如矩阵的特征向量，特征根 等等概念上，学生对于这些概念的理解以及相关的掌握有非常大的困难，不知道 邵老师对 这些难点有什么样的想法？ 邵文武：檀老师刚提到矩阵的学习有很多的难点，处理的方式主要是分散难点，以便学生 容易接受。如我们在多种场合对同一个知识点进行渗透，或者给一些铺垫，这样学生接受起 来就比较容易了。或者在最开始研究几何变换的时候，就可以给出特殊向量一些简单的例子， 让学生从感性上加以认识，但是这个时候可以不给出具体的定义。在研究反射变换、伸缩变 换等一些具体的变换中，提出一些相关的问题，使学生通过运算，初步感受一下这些不变 的性质，或者是把它们作为一些特殊的例题来进行处理，这样我想都能够比较容易的把这 些难点进行解决。当然以后还可以再通过一些大量的感性认识，引导学生进行思维开阔，这 样讲起来可能顺一些。 刚檀老师谈到，特殊向量怎么用？我们可以先讲应用，如特殊向量讲完以后，它有哪些性 质，在运算的过程中，我们可以简化很多的运算，让学生从这个角度去理解这个东西。之后 反过来讲其他的东西，如怎么求特殊向量，这样学生可以更轻松一点，实际的操作更容易 一些。 檀晋轩：在介绍运算的过程中，对于大量的复杂性的运算，我们还可以进一步采用相关的 计算工具，使学生更深入的观察和研究运算的性质和运算的本质特征。如利用手持计算器、 EXCEL等等的一些计算工具，来解决复杂的运算问题，这样使学生比较快速的集中注意力 去研究相关的一些性质。 邵文武：课标对于这部分内容要求突出信息技术，通过信息技术把矩阵和变换的课变得更 形象一些，使学生们理解更容易。 檀晋轩：矩阵这部分内容对于初中毕业的学生就可以进行开设了，从本质上来讲高一的学 生是可以接受这部分内容的。但是要在高一开设这个专题，会涉及到很多的向量的相关知识， 学生还没有讲到。因此在开这个课之前，需要花一些时间，弥补学生对于向量相关知识的一 些空白，不如放到高二年级讲，学生可能会更容易接受，学起来更轻松。 邵文武：首先这个课如果放到高二讲，从课时上来讲是比较充裕的。再则，学生经过高中一 年的学习，学习能力和接受的能力都有一定的提高。在高二开设这个课，还可以帮助学生， 从另外一个角度帮助理解斜垂的概念，把机卷看成一种映射，是平面上一个点到另一个点 的映射，这样可以让学生理解什么叫做映射，映射不仅是数到数的映射，还有几何到几何 的映射。如反函数，新课标对反函数的要求并不高。但通过矩阵变换和相关具体例子，加深 理解这个概念。 矩阵作为一个新课程的新加内容，但在高中并不是第一次出现，如微积分、概率统计，这些 课程以前的教学中都有，后来可能中断了，现在又重新把这些课程放到高中。这些内容的教 学需要一定的时间安排，当然这个时间安排也不强求，可以根据学校、老师、学生各自的情 况做相应的安排。 檀晋轩：事实上，很多的学校，在新课程没开设之前，就已经在尝试着这部分内容的教学 请 张老师给我们介绍一下。 主持人：实验区学校，北京的学校，我们自己的学校，就有老师来做这个实验。很多老师就 介绍过，开这部分内容，似乎新的老师更乐于开这个内容，好像大学里学过。但是也存在问 题，新的老师开这部分内容，往往容易讲成线性代数，以定义的方式给出矩阵的乘法，不 关注变换的几何背景。我也特别注意到，在安排这部分内容的时候，张饴慈反复提到这种变 换的观点。您能不能给我们介绍一下，为什么特别强调，用变换的观点去处理这部分内容。 张饴慈：矩阵代数，在大学里讲是比较抽象的，学生不太清楚矩阵的加法、乘法的意义，学 生只知道形式上来算。矩阵的乘法没有交换，把两个矩阵乘一下，交换乘一下，两者不相等。 这样的事实直接让学生接受，比较形式一些，对专门学数学的人来说很难给一个合理的解 释。矩阵的应用非常广泛，在大学是非常基础的一个工具。我们特别想用变换的方式来具体、 形象地讲矩阵，尽量简化运算。一开始我们讲，矩阵和向量的乘法，而不是直接讲矩阵和矩 阵乘法。矩阵跟向量乘就容易的多，估计一个高一学生，有 15分钟到 20分钟的训练，大概 基本上就会了。之后我们告诉学生矩阵乘一个向量，什么意思呢？就把这个向量变成了另一 个向量，这是整个课程的核心部分。知识不难，同时又让学生体会到矩阵乘向量就成了一个 向量。紧接着提升到平面到平面的映射。 在高一从函数的角度得到了映射，当时也举了其他的例子。但是在这里增加了一些非常重要 的例子来促进理解映射，如通过变换把平面映射成一个平面。之后我们再给学生很多的矩形 的变换，压缩、旋转、反射，这些变换从我们小学、初中就开始出现了。通过这些具体的例子 看看矩阵是如何表示这些变换。这既是对学生过去所学变换的一个复习，同时又通过很生动 的例子，让学生体会到矩阵是一个重要工具。这些具体的变换，在大学里，其实就是初等变 换，最基本的变换。本质上来说，矩阵所表示的线性变换都是这些初等变换的合成。虽然我 们在中学不讲，但是我们这些变换不仅是最常见，也是最重要的。 檀晋轩：矩阵这个内容，进入到中学之后，不仅仅是介绍高等数学本身的重要的知识，同 时也丰富了我们原有中学教学内容，加深了我们对变换、映射的认识，提升了知识的内涵， 拓展了学生的视野。 邵文武：矩阵本身有一些性质，是其他运算对象所没有的。这些东西让学生对数学对象，运 算性质有了新的认识。 张饴慈：新的内容的引入，非常好。通过一些不满足交换律，不满足消去律的例子，让学生 认识到新的运算对象的性质，使学生的视野大大的开阔。从矩阵与向量的乘法，过渡到矩阵 与矩阵的乘法要相对难一些。我们不像大学里，在讲变换之前讲矩阵没有交换律，这是从形 式说来讲。那么在高中，我们就可以从几何给出很好的解释，我们做一连串变化，变化的顺 序不一样，变化的结果往往就不一样，这样的一个认识就使得学生更好的理解运算的乘法 的性质。从另一个角度来看，矩阵的乘法运算是映射的合成，或者它就是一个复合函数。这 些是很基本很本质的概念。 檀晋轩：矩阵的学习丰富了学生已有的运算对象，同时也加深了学生对于运算和运算性质 的认识。对这些新的运算性质和运算例子的认识，促进学生理解在之前学习运算对象时，为 什么会去研究这些运算的性质。 主持人：学生觉得结合律、交换律是不言而喻、天经地义的。 张饴慈：关于逆矩阵，大学是在变换之后讲的，从两个矩阵相乘等于单位矩阵引出逆矩阵 比较形式。现在从反函数、逆变换这个角度来讲。反函数的概念，容易引出逆映射的概念。映 射与逆映射，是数学上非常重要的概念。我们可以借助几何，有了几何的背景，学习难度降 低，容易理解。把图形变过来，再变回去。如以射影变换为例，通过射影变换，知道它的可 能表示的变换，逆变化，并没有那么难。在大学，逆变化是否存在，是看行列式是不是得零， 或者是秩怎么样的。现在学生可以用几何背景，看到射影变换将二维变为一维，清楚、直观 的理解，大学要学的这种思想。 邵文武：经过这样的对比，是对大学课程的一个补充。当时上大学，对这部分内容感觉很陌 生。现在会过头来看这部分内容，理解更深入，感受到应用的广泛性。 檀晋轩：矩阵的学习，在学生进入高等数学学习的过程中，有一个比较实实在在的背景， 加深对抽象内容的理解。 主持人：老师们经常对于矩阵变换的一些难点，显得束手无策，如怎么理解复合变换（即 矩阵乘矩阵），复合变换的逆变换等等。两位老师对内容教材有一些研究，对这些内容的处 理有什么样的建议？ 邵：第一分散难点，第二将知识点形象化。如让学生理解矩阵相乘的时候，要借助几何意义， 不光从形式化角度去讲。如果光从形式角度，就是大学的课程，不在是高中课程。 张饴慈：矩阵的乘积的意义很大，像这样的东西，我觉得从我们数学来挖，他用一个很生 动的例子来解释乘法的逆运算，先穿衬衣，再穿大衣，脱的时候应该是后穿的先脱。数学教 学很重要的一点是从具体、简单的角度来讲抽象的东西。另外，矩阵的学习也给学生对之前 学的东西有了更深入的理解。如对于解方程组，最初的解法是直接代，两个变量跟几何一点 关系都没有。学了解析几何以后就可以把两方程看成两条直线，求交点。学了向量基本定理 以后，看成一个向量，是不是可以由其他两个向量线性表出，这又是一个角度。现在学矩阵 变换以后，又可以从这样的角度来理解：已知一个变换和变换的结果，是否存在一个向量 在已知的变换下得到所求的变换结果。 主持人：这个分析以后，我们看到，在矩阵与变换的具体数学内容教学的背后要交给学生 并不仅仅是一条一条的知识点，更重要的是在学的过程中蕴含数学思想，数学方法。展现学 习过程的时候，尽量把数学的背景，乘的背景，运算的意义讲清楚，这样可能使学生得到 的东西，就比他仅仅去算得到的东西更多。走进大学以后，会对抽象代数、线性代数、矩阵空 间有更具体的、深刻的背景。这门课如果这样去做，可能学生的收获会更大。 张饴慈：这门课从计算的角度，难度并不大，但是它包含的思想非常好，映射，映射的复 合，乘法的交换律，逆映射，特征向量（不变量的思想）。这些概念都是现在数学及今后数 学中最基本、最重要的概念。我们用很清楚、很简单，很直观的方法来让学生领悟这些知识的 内涵。这些背景也有助于学生，将来上大学学习线性代数，相信学生会学的更好。 主持人：几位老师对矩阵和变换作了一个比较具体的分析，我们也有很多地区开了这些课 在有选择的情况下，很多学校，很多老师也愿意选择矩阵与变换。下面我们一起来看江苏苏 州中学， 刘华老师为我们做了一个有关几种常见的平面变换的单元教学设计，我们一起来 看这个案例。 主持人：我们刚才看过 刘华老师为我们提供的教学案例，我想在座的很多老师可能都开过 这个课，也有很多老师开了选修四中的其他课程，甚至还有一些老师开设了我们选修四里 没有选择，但他们认为有价值的内容。我们想大家一起来讨论一下，怎么来看待这个选择性？ 当我们有了选择性的时候，老师们怎么样把握这个度？ 张饴慈：选修四的定位，一定不是把大学的很多的东西，直接拿到中学来。我们一定是希望 能够讲一些数学很基本的东西。个人认为，坐标系与参数方程、不等式选讲这些内容，对于 一些将来学数学、物理的可能更有用。至于将来学管理的、学经济或学文科的，过多的做一些 不等式或参数方程，并不一定很有用，但是也有很重要的数学概念，对其他一些学科，有 很大的影响，如统筹、优选法。以上这些东西，放到我们中学，希望它一定不是大学的简单 的压缩，一定是要经过彻底的改造，一定要能够突出它的数学的实质，让中学生能够接受。 对我们老师来说，对于数学上比较难的问题，抓住数学的本质，让学生接受，这可能是最 重要的问题。当然选修四的课题的内容，具体还可以讨论，通过新课程的推进，还会不断的 修改完善，但是总的目标不是简单的把大学的课程拿过来，而要给老师很宽广的视野，很 新的角度，不是在追微抹节，追求技巧。比如说映射，这是一个最基本的概念，变换的思想。 然后我们强调图形的坐标，图形的直观，我们介绍一些最常见的变换。矩阵的乘法，大大的 开阔了运算的视野，这实际上现在代数学里非常重要的。对于运算，过去都觉得讲的是群的 概念、域的概念。所以它是一个非常棒的同时又是复合函数的一个乘法。复合函数符合交换顺 序的结果不一样，实际上又从我们中学逆矩阵。我们能考虑的问题，就是一个这样的性质， 还能讨论逆矩阵为什么存在的问题，都是一些非常非常重要的，比如说不存在，是由于一 一对应不满足。像这样的一些思想，都是非常重要的，过去讲反函数不存在花了很长的时间， 如图像关于 Y轴对称之类的，相对比较难。矩阵虽然很新，但是它在讲这个逆映射的时候 反而比较容易。不变量在数学中是非常常见，大学往往从形式上来讲。在大学，学生知道特 征根的定义，会求特征根，但是并不理解。这就是过去数学教育的缺点。我们现在正在试图 寻找这样的解决办法。我们不是在追求难，追求抽象、追求深，我们要追求的是数学实质性 的东西，并不一定是很抽象的，我们要借助很具体、很直观的方法来帮助学生理解。在整个 选修四的课程中，都需要这样直观、具体地来讲数学最基本的东西，如开关电路与布尔代数、 数列与差分，初等数论初步等等。 主持人：选修课并不是一定要给学生扩充多少知识，或者是说要让以前没见过的，现在早 见。 另外，很多老师，上大学的时候不一定都学到这些选修四的内容。特别是还有一些老师是非 师范的，比如学计算机专业的，面对这么多的选修项目，老师们有各种各样的想法。檀老 师和邵老师都是所在学校的教研组的组长，一直管着数学老师专业的发展。您两位在校本教 研、教研组的发展、教师专业发展和学校选修课的开设方面，有什么样的打算和考虑？ 檀晋轩：选修系系列，在开拓学生视野的同时，也给我们教师自己专业发展提供了一个非 常好的载体。过去，我们的教师，总是关注初等数学的某些问题，反复思考、琢磨。我们中学 数学老师的视野，受到了一定的局限。选修系列的开设，促进了老师去开拓视野，对高等数 学的知识有了新的认识及理解。 张老师提到的也很重要，我们中学的老师都有着各自不同 的背景和专业。我们的建议是第一要突出老师的自身的特征和爱好，让老师发挥自己的特色。 在集体备课过程中，相互交流、碰撞和引领，选修课的开设会更加的丰富，也有 利于老师 不断的探索新的领域。 邵文武：课程有国家级课程、校本课程等。刚才 张老师已经把新课标规定的国家级选修课程 三和四系列，给予了说明和分析。从学校层面来讲，要办出自己的特色，要有自己的校本课 程。校本课程的开设，并不是要给学生多难的题。设置一门课程，首先要关注这门课的价值 取向。如根据学生的兴趣开选修课，但是兴趣之下，这门课到底能给学生带来什么东西？从 数学学科的角度来说，无论选择什么样的内容，都要落实到四个角度（新课程提的四基 础）。刚才檀老师谈到，首先要关注教师本身的知识储备。当然这也是给老师创造一个学习 的机会。这种情况下，教师的通过钻研，系统学习这些选修知识，对老师也是一个提升。再 通过给学生的讲解，效果就更不一样了。现在的老师存在的问题是，对于已有的内容可能讲 了好几轮，讲课的效果非常好。但不一定有启发性的东西，或者是给学生带来一些新的认识。 现在鼓励我们的老师，自己先钻研选修课的内容。如果决定要开设这门课，二、三位老师可 以合作讨论，腾出时间钻研有困惑的地方。我们教研组老师在教研时，就是共同讨论和交流 这些困惑地方，之后所有的老师都受益。当然我们也想去补充一些东西，比如分析这门课， 不可能在国家课程中统一开设。 主持人：但是我看到了江苏、福建、 江西有老师一直坚持开。 邵文武：我们学校有老师，他开的课就是分析，效果非常好。我们鼓励我们的老师自己去开 设这样的一些课。这样的课，对学生对老师，对学校都是很有帮助的。 主持人：现在很多学校来了很多新的老师，新老师的特点，就是学的东西比较多，比较新 而且学历比较高。以前，新教师在学校发挥作用的一种方式之一，就是钻研教材，越钻研对 传统教材理解更透彻，然后是解高考题。但对数学思想的认识，在后期没有再接触。数学专 业化水平稳定，或者略微退化。针对这种情况我们学校的对策，就是让新的老师，一定要选 择一门以前学校没有开过的课，如我们学校老师有选风险与决策，有选矩阵变换的，有选 数学史的。开的过程你必须得钻研，体会、理解教材。如对于怎么处理特征向量，特征根，老 师要是老说不清楚，经过几位一起开课老师的共同讨论，发现上大学的时候抽象代数没学 好，还要重新再去深入学习。类似的一些问题，过去是我们的难点，现在要给中学生讲。作 为老师就要深刻理解其中的内涵。这样的一个过程，对老师专业知识的是一个很大的提升， 这也是教师在岗专业发展的一个非常好的形式。 张饴慈：从课标的制定的角度，是希望选修内容，不仅对学生，对老师的发展也给一定的 空间。我们并不要求老师所学的都要派上用场，但是你要给出一个空间来，让老师能够有所 作为。 主持人：。很多中学老师，进入中学教学以后，他们的视野相对比较固定。关于提高教师的 数学专业素质，您觉得应该从什么地方入手，给在岗的老师提一些建议？您从大学的角度 给师范院校的老师提一些建议。 张饴慈：无论是在大学还是中学，我们对数学的研究可能要从整体上把握，现在的问题之 一是满足于课堂上讲几道题。另外，对每个来说，学数学都有一个过程。学数学不是一开始 就学的很明白。当然有两方面问题，一个是自己学的不好，另外老师的讲的比较形式。 那老 师就得从自己做起。我觉得开设这几门课，是非常好的。除了我们课程标准，各个学校也要 有自己的安排和计划。以后这个课标准的内容，可能还会有适当的调整。但是它给出我们的 方向，各个学校在开课的过程中都可以有不同的选择。 邵文武：在新课程推进过程中，中学老师跟 高校老师有了更多的接触机会。当初 xx教授教 我教法课的时候，当时觉得内容非常的抽象。后来跟她去海南调查，觉得她在教法方面有了 更多更深入的思考。因为她在实践过程中确实提升了很多。实践对中学老师、大学老师都是一 个机会。另外我现在经常回首师大，首师大数学系经常有一些讲座。国内外的学者，提供了 一些很好报告，这些机会在我们上大学时，是非常少的。后来我选择了八一中学，因为离北 大很近，有时候也去听讲座。这些都是学习的过程，对个人数学知识的提升，阅历，视野的 开阔，都是有很大的帮助的。希望下面的学弟、学妹们，如果有机会多去走一走转一转，我 觉得以后从事教师这个职业是非常有好处的，社会给你创造的机会应该好好的把握。 主持人：我想在座的老师们都会有这种感受，参加或者实践新课程的过程对我们自己是有 挑战的。这样一个挑战，对我们老师来说也是非常好的机会，特别是年轻的老师，应该抓住 这个机会，在这个过程里，把自己过去对数学的认识，对教育的认识，在实践中 加以提升。 只要我们坚持做下去我们就会有所收获，我们的学校、教师、学生共同成长。这节课就到这里， 谢谢的参与，我们期待着大家下一节课再见。 专题 6