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二 项 式 定 理 第二课时 庐山区二中 查道强 一、复习 0 1 1 1( )n n n n nn n nn r nr ra b C a C a b C ba Cb      1 ( 1r n r rr nT C a b r  展开式的第项） ( 0,1,2,3, )rnC r n  二项展开式通项 : 二项式定理 : 二项式的系数： （ n N ∈ ）* 这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做 （ a+b） n 的二项展开式，共有 n+1项。 1 1 r r r n n nC C C   二项式系数表 (杨 辉 三 角 ) 你能发现什么规律？认真思考，你一定 行 ! 每行两端是 1,而且除 1以外的每一个数都等于 它肩上两个数的和…… 3 5C 1( )a b 2( )a b 3( )a b 4( )a b 5( )a b 6( )a b 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 2 4C 34C 杨辉 ,字谦光 ,中国南宋时 期杰出的数学 家和数学教育 家 . “杨辉三 角” 在 1261年所著 的《详解九章 算术》中就有 所记载 .此 发现比欧洲早 五百年左右 . ( ) rny f r C  当n=6时，其图象如右图中的7 个孤立的点。 ( {0,1,2,3, , })r n  0 1 2 ( ) , , , . n r n n n n n n a b C C C C C    展开式的二项式系数是 0 1 2 r nC r  从函数角度来看，可看成是 以为自变量的函数f(r),其定 义域是 {，，，n} 让我们一起来探讨研究 二项式系数…… 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 …… …… ( ) ( {0,1,2,3, , }) r ny f r C r n    n=6 1 n=1 n=0 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6 …… •性质一： 对称性 即与首末两端等距离的两个 二项式系数相等 m nC n mnC =因为 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 0 1 2 3 4 5 6 6 6 6 6 6 6 6C C C C C C C 性质二： 增减性与最大值 k k n n k k AC AQ ( 1)( 2) ( 2)( 1) ! n n n n k n k k        ( 1)( 2) ( 2) ( 1) ( 1)! n n n n k n k k k         g 1 1 1 ( 1)kn k k A n k A k      g 1 ( 1)k k n n k kC C n   g 1 1 1 k k n n n kC C k n k k         相对于的增减情况由决定。由 n+1 k 2 性质二： 增减性与最大值  n+1 可知k时，二项式系数逐渐增大。由对称性知2 道它的后半部是逐渐减小的，且在中间取得最大值。 1 2 n nC  n 2 n n-1 2 n 1、当n是偶数时，中间一项C取得最大值； 2、当n是奇数时，中间的两项C，相等，且同 时取得最大值。 性质三： 各二项式系数 的和 0 1 1 1( ) , n n n r n r r n n n n n na b C a C a b C a b C b a b       中的代表什么？ ( )na b也就是说的展开式中的二 奇数项偶数项式系数和 的二项式 等于 系数和。 ( ) 2 .n na b即的展开式的各个二项式系数和等于 1、当 a=1、 b=1 时： 0 1(1 1)n r nn n n nC C C C       0 12 rnn nn n nC C C C      2、当 a=1、 b= -1时： 0 1 2 3 0 2 1 3 (1 1) ( ) ( )0 n r n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C                   思 考： 所有奇数项的二项式系数和等于多少？ 所有偶数项的二项式系数和等于多少？ 0 2 1 13 2 2 2 n n n n n nC C C C           0 1 2r nn n n nnC C C C     Q 0 2 1 3( ) ( ) 0n n n nC C C C        练习 :已知 的展开式中第 2项与第 7项的 二项式系数相等，求展开式中二项式系数最大的项、二 项式系数的和以及展开式各项系数的和。 3 4 7 7C C最大的二项式系数是、， 3 3 3 4 4 4 4 7 5 7( 2 ) 280 ( 2 ) 560T C x x T C x x      这两项为，， 72 2 128n  所以二项式系数的和为； (1 2 )nx 7 0 1 1 2 2 7 7 7 7 7 7(1 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )x C C x C x C x       由易知， 1x 令就可得展开式各项系数之和为 解 ： 1 6 n nC C依题意， 7n 解得。 7 0 1 1 2 2 7 7 7 7 7 7(1 2 ) ( 2) ( 2) ( 2)C C C C        1 0 1 1 2 2 7 7 7 7 7 7( 2) ( 2) ( 2) 1C C C C       所以 小 结： 1 、二 项 式 系 数 性 质： a 、对称性； b 、增减性与最大值； c 、二项式系数和。 2、赋 值 法 及 其 运 用。 作 业 : P114 （ 7 、 8 、 9 、 10 ） 谢 谢 ！ 再 见 ！