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7.5 曲线和方程 —— 1.曲线和方程 马鞍山二中 王中秋 • 主要内容：曲线和方程的概念、意义及 曲线和方程的两个基本问题 • 重点和难点：曲线和方程的概念 7.5曲线和方程 1.曲线和方程 • 充要条件： 的必要条件是成立，则若 BABA 的充分条件是成立，则若 BABA 的充要条件是成立，则若 BABA • 函数图象： • 直线和方程： 直线和二元一次方程的关系 • 轨迹： • 集合： 什么叫点的轨迹 ？ 轨迹图形与条件 有何关系？ F 轨迹 A 条件 （ 1）、图形 F上的每一点都符合条件 A （ 2）、符合条件 A的每一个点都在图形 F上 0 x y x0 ）0(2 a＞axy y x0 y=x y x=a 出发前的准备 • 在解析几何中，轨迹通常称为曲线。 • 轨迹上的每一点所适合的条件通常转化为一个代数式 （方程）来表示。 • 因 而初中几何中的“轨迹和条件”的关系就转化为 “曲线和方程”的关系。即： 轨迹 条件 曲线 方程   那么曲线和方程之间有什么对应关系呢？ 导入 （ 1）、求第一、三象限里两轴间夹角平分线的坐标满足的关系 第一、三象限角平分线  点的横坐标与纵坐标相等 x=y（或 x-y=0）l 得出关系：l x-y=0 x y 0 （ 1）、l 上点的坐标都是方程 x-y=0的解 （ 2）、以方程 x-y=0的解为坐标的点都在 上l 曲线 条件 方程 分析特例归纳定义 （ 2）、函数 ）0(2 a＞axy  的图象是关于 y轴对称的抛物线 这条抛物线的方程是 ）0(2 a＞axy  · 0 x y ）0(2 a＞axy  M 满足关系： （ 1）、如果 )y,x( 00 ),( 00 yx是抛物线上的点，那么 一定是这个方程的解 ),( 00 yx（ 2）、如果 是方程 ）0(2 a＞axy  的解，那么以它为坐标的点一定 在抛物线上 分析特例归纳定义 （ 3）、说明过 A（ 2， 0）平行于 y轴的直线与方程︱ x︱ =2的关系 ①、直线上的点的坐标都满足方程︱ x︱ =2 ②、满足方程︱ x︱ =2的点不一定在直线上 结论：过 A（ 2， 0）平行于 y轴的直线的方程不是︱ x︱ =2 0 x y 2 A 分析特例归纳定义 • 给定曲线 C与二元方程 f（ x， y） =0 ， • 若满足（ 1）曲线上的点坐标都是这个方程的解 • （ 2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点 • 那么这个方程 f（ x， y） =0 叫做这条曲线 C的方程 • 这条曲线 C叫做这个方程的曲线 定义 说明： 1、曲线的方程——反映的是图形所满足的数量关系 方程的曲线——反映的是数量关系所表示的图形 2、两者间的关系：点在曲线上点的坐标适合于此曲线的方程 通俗地说：无点不是解且无解不是点 或说点不比解多且解也不比点多 即：曲线上所有点的集合与此曲线的方程的解集能够一一对应 集合的 观点 3、如果曲线 C的方程是 f(x， y）=0，那么点 ),( 00 yxP 在曲线 C上的充要条件 是 0),( 00 yxf f （ x， y） =0 0 x y 分析特例归纳定义 例 1判断下列结论的正误并说明理由 （ 1）过点 A（ 3， 0）且垂直于 x轴的直线为 x=3 （ 2）到 x轴距离为 2的点的轨迹方程为 y=2 （ 3）到两坐标轴距离乘积等于 1的点的轨迹方程为 xy=1 对 错 错 例 2证明：圆心为坐标原点，半径为 5的圆的方程是 2522  yx 并判断 是否在圆上），（、 252)4,3( 21  MM 阅读教材讨论并回答： （ 1 ）利用曲线和方程的定义，简述证明过程。 （ 2 ）判断点 21,MM 是否在圆上，其过程的依据是什么？ （ 3 ）变式训练：写出下列半圆的方程 0 x y 5 5· · 1M 2M 学习例题巩固定义 y y y -5 y 5 5 5 5 55 5 -5 -5 -5 -50 0 x x x x 小结  在轨迹的基础上将轨迹和条件化为曲线和方 程，当说某方程是曲线的方程或某曲线是方 程的曲线时就意味着具备上述两个条件，只 有具备上述两个方面的要求，才能将曲线的 研究化为方程的研究几何问题化为代数问题 ，以数助形正是解析几何的思想，本节课正 是这一思想的基础。 作业：习题 7.5 1， 2