力矩平衡条件的应用
一、素质教育目标
（一）知识教学点
力矩平衡条件的应用
（二）能力训练点
1．进一步提高分析物体受力的能力．
2．应用力矩平衡条件解决实际问题的能力．
（三）德育渗透点
从力的转动作用出发，建立力矩的概念，培养学生科学抽象的能力．从转动平衡的实
验研究，训练学生的科学思想方法．
（四）美育渗透点
通过应用教学，使学生把审美欣赏和审美操作用有机地结合，提高审美的感受力．
二、学法引导
通过典型例题的分析，进一步加深对力臂与力矩概念的认识，并帮助学生建立如何受
力分析和建立平衡方程．
三、重点·难点·疑点及解决办法
1．重点
力矩平衡条件的应用
2．难点
物体受力分析
力矩平衡方程的建立
3．疑点
没有固定转动轴的物体平衡时，怎样选取转动轴．
4．解决办法
进一步提高学生分析物体受力的能力，画出受力图，标明力臂的长短，根据转动轴确
定各力的转动效果（使物体顺时针转还是逆时针转），再根据平衡条件列方程求解．
对于没有固定转动轴的物体的平衡，原则上可以任意选取过某点的直线为轴，而且对
选定的转动轴来说，各力的力矩的代数和为零．在实际中，为了使问题简化和方便，常常
选取过受力最多的点或含有未知力的点为转动轴，这样，就可使这些力的力臂为零，力矩
也为零，列方程时就可以不考虑这些力的作用．
四、课时安排
1课时
五、教具学具准备
汽车的幻灯片、投影仪等．
六、师生互动活动设计
1．教师通过例题分析，总结解题的基本思路．
2．学生通过练习，加深对概念的认识，学会处理此类问题的基本方法．
七、教学步骤
（一）明确目标
力矩平衡条件的应用．
（二）整体感知
到现在为止，我们看到，在解决动力学问题中，在解决平衡问题中，都需要先分析物
体的受力情况，再根据运动状态列方程．在以后的圆周运动，动量、机械能、机械振动的教
学中，仍要贯彻物体的受力分析，使学生逐步领会物体的运动状态是由它的受力和初始状
态决定．并从而领会研究物体运动规律的基本方法．
（三）重点、难点的学习与目标宪成过程
[导入新课]
提问：有一个物体可绕过 O点的轴转动，当它受到如图 4－16四个力作用而处于静止
时，作出这四个力的力臂，指出它们力矩的正负，平衡条件是什么?
图 4－16
新课教学
【例 1】 一根均匀直杆 AB长 em，重量为G，它可以绕过O点的水平轴在竖直面内自由
转动，O点到 A端的距离为 0.25m．现在 A端施加一水平作用力 F，杆静止时，杆的方向偏
离竖直方向 a角（a＜90°），如图 4－17所示．求：
图 4－17
（1）水平力 F的大小；
（2）转轴O对杆的作用力的大小．
分析：直杆 AB是一个有固定转动轴的物体，它除了交 O点的作用力外，还受到重力
G和水平力 F的作用，在这两个力的力矩作用下处于平衡．设杆长为 L，重力的力矩为 G·
sin4
l ，它可使杆绕 O点逆时针转动；水平力 F的力矩为 F· cos4
l ，它可使杆绕O点
顺时针转动．平衡时，这两个力矩大小相等，由此可求出力 F的大小．
在求力 F时，转动轴 O对杆的作用力可以不考虑，因为这个力对轴 O的力矩为零．但
是若要求轴 O对杆的作用力时，显然就不能从转动效果来考虑了．当以杆为研究对象时，
它受到重力 G、水平力 F和作用在轴 O的力这三个力作用．这三个力不在一条直线上，而
三个不在一条直线上的力平衡时，这三个力一定共点，因此求轴 O对杆的作用力就变成一
个共点力平衡问题了，应该用共点力的平衡来解答．
解：（1）以杆为研究对象，杆的受力如图 4－18所示．根据有固定转动轴的物体的平
衡条件，得：
图 4－18
F· cos4
l ＝G· sin4
l
由此得 F＝Gtga．
（2）求轴O对杆的作用力时，可用平行四边形定则或正交分解两种方法求解．
方法一：因三力平衡时一定是共点力，由此可画出轴 O对杆的作用力的方向如图 4－
19所示．而根据共点力的平衡条件可知，三力平衡时，其中任意两个力的合力一定与第三
个力大小相等，方向相反，而且在同一条直线上，即 0F 的大小一定等于 F和G这两个力的
合力，由平行四边形定则及勾股定理，可得
图 4－19
0F ＝ 22222 tg GGGF ＝Gsecα
方法二：轴 O对杆的作用力的大小和方向最初不确定，但是我们可以将它分解成一个
水平分力 xFo 和一个竖直分力 oyF ，如图 4－20的所示．然后在水平方向和竖直方向列出
物体的平衡方程，分别求出 xFo 和 oyF ，最后再求出 xFo 和 oyF 的合力，此即为轴 O对杆
的作用力．
在水平方向和竖直方向上应用平衡条件，可得
xFo ＝F
oyF ＝G
根据平行四边形定则，可得轴O对杆的作用力的大小
图 4－20
oF ＝ 2222 GFFF ayax ＝Gsecα
【例 2】 一辆汽车重 1.2× 410 N，使它的前轮压在地秤上，测得的结果为 6.7× 310 N，汽
车前后轮之间的距离是 2.7m．求汽车重心的位置（即求前轮或后轮与地面接触点到重力作
用线的距离）（课本上例题）．
分析：严格地说，这是一个没有固定转动轴的平衡问题．但是汽车平衡时，既没有移
动，也没有转动，因此既要满足合力为零的条件，也要满足合力矩为零的条件．而处于转
动平衡时，各力对任意一条轴线的力矩和都应该为零，否则相对这条轴线就要转动起来．
因此，在处理这种没有固定转动轴的平衡问题时，可以当作有固定转动轴的物体的平衡来
处理．
在选择转动轴时，应尽量选含有未知力的点为轴，这样就可使未知力的力矩为零．本
题中选后轮与地面的接触处作为转动轴就是这个理由．
思考：地面对后轮的支持力是多大?（答案：5.3× 310 N）若以前轮与秤接触处作为转
动轴，再解本题．
（四）总结、扩展
解力矩平衡问题的基本方法仍然是首先选取研究对象，然后分析物体的受力，选好转
动轴，最后根据力矩平衡条件列方程求解．
在解一般物体的平衡问题时，要同时满足合力为零和合力矩为零的条件．
八、布置作业
练习二 （2）（3）（4）
九、板书设计
四、力矩平衡条件的应用
1．例题 1
2．例题 2
3．解题的基本步骤
十、背景知识与课外阅读
天平的秒用
天平本是测量物体质量的工具，假如我们结合其他的器材，可以解决许多实际的问题．
一、用平天称个数
我们可以选称是 N个物体的质量，然后称出总质量，则个数＝N× 个的质量
总质量
N
二、用天平称长度
如测一团缠在一起的铜丝的长度，可以用天平称其质量，算其体积 V＝
铜
m
，再求其
长度 S
VL
三、用天平测容积
如用天平分别测出装满水和空时瓶的质量 1m ， 2m ，则 水m ＝ 1m － 2m ，则瓶的容积
为 V＝
水
21 mm
四、用天平测液体的密度用天平分别测出空烧杯和装满液体时的总质量 1m ， 2满m ，再
测出装满水时的总质量 3m ，则有
液水
1213 mmmm
五、用天平称小石块的体积先称出小石块，装满水的容器的质量 1m ， 2m ，再将小石块
放入容器中，测出其总质量为 3m ，则小石块的体积为 V＝
水
321 mmm
六、用天平秤面积
找一根与地图大小相近且厚薄均匀的硬纸板，将纸板覆盖在地图上治边缘剪出其形状
同大的纸板，用天平称纸板质量 1m ，再取一已知面积 S的地区重复上述步骤，称其对应纸
板质量为 2m ，则地图的面积＝
2
1
m
m ×S．
七、用天平分拣次品
如有九个质量较小的金属元件，已知其中一个是空心的次品，则我们可将 9个元件分
成三份，每份三个，然后用天平来称量，只需称量两次即可找出次品．
十一、随堂练习
1．图 4－21所示是一个由轮轴和杠杆构成的速度控制装置，大轮半径为 0.25m，小轮
半径为 0.20m，在小轮上绕有细绳，细绳下端挂有一重为 500N的物体．在大轮上方有可绕
A轴自由运动的细杆压在大轮边缘上．若 AB＝0.40m，BC＝0.60m．细杆和大轮边缘的动
摩擦因数为 0.40，转动轴光滑，杆、轮、绳质量不计．要让物体匀速下落．（1）细杆对大轮
的摩擦力多大；（2）在 C点应施加一个多大的竖直向下的力．
图 4－21
2．一根均匀直棒一端靠在光滑墙壁上，一端搁在水平地面上，如图 4－22所示．已知
杆的重量为G，AB长 4m，CD长 3m，求墙对杆的支持力．
图 14－22
3．如图 4－23所示，要使圆柱体滚上台阶，则在圆柱体最高点作用的力中最省力的是
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
图 4－23
4．如上题图所示，均质圆柱体重力 G，半径为 R，障碍物高 h＝ 2
R ，今要使圆柱体
越过障碍物，且要求施加在圆柱体上的力最小，这个最小的力为_______．
5．如图 4－24所示，均质杆 AO可绕O轴转动，在用水平力使它缓缓抬起的过程中，
重力对 O轴的力矩变化情况是________，如果已知抬起过程中水平拉力力矩始终等于重力
的力矩，则水平拉力 F的变化情况是_________．
答案：1．（1）400N；（2）400N 2． 8
3 G 3．C 4．G／2 5．变大，变大
图 4－24
/6
