曲线的拐点教案 1
教学目的
使学生认识到研究曲线拐点的必要性；体会拐点的定义；对于二阶可导函数，熟
练掌握求其拐点的方法；进一步理解拐点的内在涵义．
教学重点
对于二阶可导函数，掌握求其拐点的方法．
教学过程
一、复习提问
1．问：可导函数 f(x)相应曲线上升与下降分界点的横坐标称作什么点？(驻点)问：
上述分界点(即横坐标为驻点)的切线方位如何？(平行于 x轴)问：f(x)在驻点，函数值随
自变量值变化的速率如何？(为零)补充说明：这就是“驻”字的含义．问：怎样求驻点？
(求方程 f'(x)＝0的根)补充说明：f'(x)＝0是 x为驻点的充要条件．
2．问：你能想象出连续的曲线由上凸变为下凸，或由下凸变为上凸是什么样子吗？
可以画成图形如图 3-23：
说明：图 3-23(1)与图 3-23(2)中曲线上凸部分与下凸部分的分界点就是我们今天要
研究的课题．问：类似于图 3-23(1)与图 3-23(2)的情形，你能各举一个具体函数的例子
吗？(如曲线 y＝sinx，在点(0，0)，(π，0)两侧改变凸向．)
二、新课
1．新课引入．
可导函数相应曲线上升与下降的分界点很有研究价值，同样，连续光滑的曲线上
凸与下凸的分界点也有研究价值，而且不仅仅是在几何方面有研究价值．上述第一种
分界点的横坐标称为驻点，第二种分界点本身称为拐点．
2．新课．
(1)拐点的定义．
设函数 y=f(x)在区间(a，b)内各点具有导数或其导数为无穷大，则称相应曲线上凸
部分与下凸部分的分界点为拐点．
曲线 y＝sinx，如图 3-24，点(0，0)，(π，0)是拐点．
可见，改变凸向是成为拐点的必要条件．只有这一个条件，未必是拐点．
(2)拐点的判断方法
定理 如果点 P(x0，f(x0))为曲线 y=f(x)的拐点，且 f''(x0)存在，那么 x0必满足：
f''(x0)＝0．
证明：假设 f''(x0)≠0，必有 f''(x0)＞0，或 f''(x0)＜0，则曲线 y=f(x)在 x＝x0处下凸，
或上凸，这样，点 P(x0，f(x0))就不能是拐点，与已知矛盾．即拐点 P(x0，f(x0))的横坐
标 x0必满足 f''(x0)=0．
该定理说明，对于二阶可导函数 f(x)，f''(x0)＝0是点(x0，f(x0))为曲线 y=f(x)之拐点
的必要条件．
前面曾分析过，曲线 y=f(x)在点(x0，f(x0))附近左右改变凸向是点(x0，f(x0))为该曲
线拐点的必要条件．
实际上，对于二阶可导函数 y=f(x)，上述二条件的迭加是成为拐点的充要条件．
也就是说，如果曲线 y=f(x)在点(x0，f(x0))附近左右改变凸向，即 f''(x)在点 x0附近左右
改变符号．且 f''(x0)=0，则点(x0，f(x0))必为该曲线的拐点；反之，如果点(x0，f(x0))为
曲线 y＝f(x)的拐点，则该曲线在点(x0，f(x0))附近左右必改变凸向，即 f″(x0)在点 x0附
近左右必改变符号．且 f''(x0)＝0．
例 1 讨论曲线 y＝x3－6x2＋9x－1的凸向并求拐点．
解：f(x)＝x3－6x2＋9x－1，f'(x)=3x2－12x＋9，
f''(x)＝6x－12＝6(x－2)．
令 f''(x)=0，得 x＝2．并且当 x＜2时，f''(x)＜0，曲线上凸；
当 x＞2时，f''(x)＞0，曲线下凸，
∴点(2，1)是拐点．如图 3-26．
当 x＜2时，f''(x)＜0，曲线上凸；当 x＞2时，f''(x)＞0，曲线下凸．
因点(2，0)符合拐点的定义，故仍是拐点．如图 3-27．
例 3 求曲线(y－2)3＝x－4的拐点．
当 x=4时，f'(x)=＋∞，f''(x)不存在．
当 x＜4时，f''(x)＞0，曲线下凸；当 x＞4时，f''(x)＜0，曲线上凸．
因点(4，2)符合拐点定义，故仍是拐点．如图 3-28．
可见，若 f''(x0)存在，则 f''(x0)＝0是点(x0，f(x0))为曲线 y＝f(x)之拐点的必要条件，
但若 f''(x0)不存在，f''(x0)＝0就不是必要条件了．如例 3，f''(4)不存在，但点(4，2)仍是
拐点．至于曲线在点(x0，f(x0))附近左右改变凸向，总是使点(x0，f(x0))成为该曲线之拐
点的必要条件．
三、小结
在连续光滑的曲线上，使凸向改变的点为拐点．对于二阶可导函数 y=f'(x)．f''(x)
在点 x0附近左右变号，且 f''(x0)=0，则点(x0，f(x0))为相应曲线的拐点，反之亦然．但
若 f''(x)在 x＝x0处不存在，也不排除点(x0，f(x0))成为拐点的可能性．
2．若点 x0为函数 y=f(x)的驻点，则 f'(x0)=0，函数值随自变量值变化的速率，在 x
＝x0附近两侧变号，而在 x=x0处为零；
若点(x0，f(x0))为曲线 y=f(x)的拐点，且 f''(x0)＝0，函数值随自变量值变化速率之
速率 即加速率，在 x=x0附近两侧变号，而在 x=x0处为零．
四、布置作业
1．复习“曲线的拐点”有关内容：
2．作下列书面作业：
(1)讨论曲线 y=x＋36x2－2x3－x4(－∞＜x＜＋∞)的凸向并求拐点；
(2)试证曲线 y＝(x＋2)6＋2x＋2(－∞＜x＜＋∞)下凸，无拐点；
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