0 0 类别 : 教案

双曲线的几何性质教案 1 教学内容 1．利用双曲线的几何性质解题； 2．共轭双曲线； 3．双曲线的第二定义，双曲线的准线． 教学目标 1．熟练掌握双曲线的几何性质； 2．掌握共轭双曲线的定义； 3．理解双曲线的第二定义，理解准线的意义； 4．培养数形结合解决问题的能力，继续进行运动、变化观点的教育． 设计思想 这节课将通过例题介绍双曲线几何性质的应用，并在应用中加深对它们的 理解．尤其是渐近线作为双曲线特有的性质（有别于椭圆与抛物线），要重点 安排一些例题与练习，使学生明确它在研究双曲线问题中的作用．还要通过例 题介绍共轭双曲线的意义，介绍双曲线的第二定义，同时引出双曲线的准线的 定义，为研究圆锥曲线的统一定义打下基础． 教学过程 一、课题引入 先复习上节课所讲的双曲线的几何性质：范围、对称性、顶点、渐近线、离心 率，然后提出，本课将通过例题介绍它们的应用，并在应用中加深对它们的理 解．我们还要介绍共轭双曲线的概念和双曲线的第二定义，并讲授双曲线的另 一几何性质：准线及其应用． 知识讲解 通过例题讲解 1．双曲线几何性质的应用 特点是双曲线 12 2 2 2  b y a x 的渐近线是 y＝ xa b ， 12 2 2 2  b x a y 的渐近线是 y ＝ xb a ，实际求渐近线时二者常常混淆．为避免搞错，可采用如下办法： 12 2 2 2  b y a x 的渐近线为 0b y a x ， 12 2 2 2  b x a y 的渐近线为 0b x a y ． 2．如果已知双曲线方程，那么它的渐近线是确定的，反过来，如果已知双 曲线的渐近线方程，那么双曲线并不确定，实际上有共同渐近线的两组双曲线 系． 一对共轭双曲线要讲清两点：1．它们有共同的渐近线，2．实轴虚轴互换． 注意： 12 2 2 2  b y a x 的共轭双曲线是 12 2 2 2  a x b y ，不是 12 2 2 2  b x a y ，不要弄 错． 3．双曲线与椭圆的第二定义是统一的（只是 e的范围不同）．应用双曲线 的第二定义时要明确：双曲线有两个焦点、两条准线，只有动点到某一个焦点距 离与它到对称轴同侧的准线距离之比才等于e． 二、例题分析 例1．求适合下列条件的双曲线的标准方程． （1）焦点在y轴上，且a＋b＝7，e＝ 4 5 ． （2）与双曲线 1916 22  xy 共渐近线，且通过P（－3， 32 ）． 分析：（1）题只需列方程组解出 a、b即可．（2）题关键是先判定所求双 曲线的标准形式．如图 2-11．已知双曲线渐近线为 xy 3 4 ．两直线 x＝－3 与 y＝－ x3 4 的一个交点 Q（－3，4）在点 P（－3， 32 ）的上方，故所求双曲线焦点在x轴上． 解：（1）由      4 5 7 22 a ba ba 解得 a＝4，b＝3． ∴所求双曲线方程为 1916 22  xy ． （2）设所求双曲线方程为 12 2 2 2  b y a x ，它的渐近线方程为 y＝ xa b ，则 得      1129 3 4 22 ba a b 解得      4 4 9 2 2 b a ∴ 所求双曲线方程为 14 4 9 22  yx ． 例2．证明双曲线上任意一点到两条渐近线的距离乘积是一个常数． 分析：在给定的双曲线标准方程中，x、y是变量，a、b是常数．所以只须计 算双曲线上任意一点 P（x，y）到两条渐近线距离的乘积能用 a、b表示（不含 x、y）即可． 证明：设双曲线方程为 12 2 2 2  b y a x ，它的两条渐近线方程为 bx＋ay＝ 0，bx－ay＝0，设P（x，y）是双曲线上任意一点，则点P到两条渐近线的距离 之积为 22 22 22 2222 2222 ba ba ba yaxb ba aybx ba aybx       （常数） 例3．已知一双曲线的离心率等于2，求它的共轭双曲线的离心率． 分析：根据共轭双曲线的定义，若原双曲线的离心率为 a ce  ，则其共轭 双曲线的离心率为 b ce  ． 解：设已知双曲线的方程是 12 2 2 2  b y a x ，则它的共轭双曲线的方程为 12 2 2 2  a x b y ． 已知双曲线的离心率 2 22  a ba a ce ，即a2＋b2＝4a2， 22 3 1 ba  ． 它的共轭双曲线的离心率 3 323 1 22 22    b bb b bae ． 例4．点 M（x，y）到定点 F（c，0）的距离和它到定直线 l： c ax 2  的距 离的比是常数 a c （c＞a＞0），求点M的轨迹． 分析：这不单是一求动点轨迹的例题，而是通过例题总结出双曲线准线的 定义和双曲线的第二定义．因此，对本例要给以足够的重视． 解：见课本P90． 例 5．求准线方程是 y＝－2，过焦点与实轴垂直的直线被双曲线截得线段 长为24的双曲线标准方程． 分析：由准线是y＝－2可知双曲线的焦点在 y轴上，由题中给出的两个独 立条件可以求出标准方程， 12 2 2 2  b x a y 中两个参数a、b的值． 解：设所求双曲线方程为 12 2 2 2  b x a y ，则 2 2 c a 1122 2 2 2  ba c 解之，得a2＝16，b2＝48． 222 bac  ∴所求双曲线方程为 14816 22  xy ． 例 6．已知P为双曲线 12 2 2 2  b y a x 右支上一点，F1、F2分别为左、右焦点，若 |PF1|︰|PF2|＝3︰2，试求P点的横坐标． 分析：利用双曲线的第二定义，把|PF1|︰|PF2|＝3︰2转化为P到左、右两 条准线的距离的比 d1︰d2＝3︰2，而过P点与左、右准线垂直的直线与x轴平行， 则P点横坐标可求． 解：设 P点坐标为（x0，y0）（x0＞0），双曲线的左、右准线方程分别为 c ax 2  ， c ax 2  ． ∴点P到左、右准线的距离分别为 c axd 2 01  ， c axd 2 02  ． 由双曲线第二定义知： ed PF d PF  2 2 1 1 ，即 2 3 2 0 2 0 2 1 2 1     c ax c ax d d PF PF 所以 22 2 0 5 ba ax   三、练习与讲评 1．求适合下列条件的双曲线的标准方程： （1）渐近线方程是 xy 2 ，实轴长为 6，焦点在x轴上 （2）离心率e＝2，准线方程为 3 5y 2．求以椭圆 135 22  yx 的焦点为顶点、长轴顶点为焦点的双曲线方程． 3．若双曲线的渐近线为2x±y＝0，求双曲线的离心率． 4．双曲线 1916 22  yx 上一点P到右焦点的距离为4，求这点到左准线的距离． 5．求双曲线 193 22  yx 的两条渐近线的夹角． 答　案 1．（1） 1369 22  yx （2） 1 3 100 9 100 22  xy 2． 132 22  yx 3． 2 5 或 5 4． 5 48 5． 3 π 讲解：练习时注意：1．根据条件正确选择双曲线的类型，若不能确定焦点 在哪个轴上，则考虑两解情况．2．焦点在x轴与y轴上的渐近线方程不要混淆． 3．运用双曲线第二定义时，注意只有对称轴同侧的焦点与准线才具有的性质． 四、小结与总结 本节课通过例题与练习，深化了对双曲线的定义与两类标准方程的理解与 掌握，特别是对双曲线与椭圆中易混的a、b、c间的关系进行了对比练习，强化 了对这几个参数几何意义的理解．