●教学目标
（一）教学知识点
1.利用抛物线的标准方程和定义来解决问题.
2.抛物线焦点弦的性质及焦点弦长的求法.
（二）能力训练要求
1.熟练掌握利用抛物线的标准方程和定义来解决问题.
2.掌握抛物线焦点弦的性质及焦点弦长的求法.
（三）德育渗透目标
1.训练学生分析问题与解决问题的能力，训练学生方程同解变形、解方程和方程组的运
算能力.
2.培养学生数形结合、分类讨论的思想方法，培养学生利用圆锥曲线定义的解题思想及
方法.
●教学重点
1.抛物线定义的应用.
2.抛物线的焦点弦长求法.
3.抛物线综合知识的应用.
●教学难点
抛物线各个知识点的综合应用.
●教学方法
讲练结合法.
●教具准备
投影片三张
第一张：例1与例2（记作§8.5.2 A）
第二张：例3与例4（记作§8.5.2 B）
第三张：练习题（记作§8.5.2 C）
●教学过程
Ⅰ.课题导入
［师］通过上一节课的学习，现在请大家回答下面两个问题：
1.抛物线的定义是什么？
2.抛物线的标准方程有几种形式？分别是什么，并说出对应的焦点坐标和准线方程？
［生］1.平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.
2.抛物线的标准方程共四种形式：
开口向右，y2=2px(p＞0),F( 2
p ,0),l:x=- 2
p
开口向左，y2=-2px(p＞1),F(- 2
p ,0),l:x= 2
p
开口向上，x2=2py(p＞0),F(0, 2
p ),l:x=- 2
p
开口向下，x2=-2py(p＞0),F(0,- 2
p ),l：y= 2
p
［师］回答得很好，下面我们看几个例题.
（打出投影片§8.5.2 A)
Ⅱ.讲授新课
［例 1］点 M与点 F（4，0）的距离比它到直线 l:x+5=0的距离小 1，求点 M的轨迹方
程.
［师］想想怎样求点M的轨迹方程？
［生］先设 M的坐标为（x,y)，接着用两点间距离公式及点到直线距离公式表示出上
面的关系及条件，则得到有关x与y的一个关系，再化简即得出结论.
［师］此同学按的是求轨迹方程的一般做法，这种方法在化简时过程比较繁琐，大家
应结合我们今天学的“抛物线及其方程”，看能否用一种比较简便的方法做出来.
［生］由题可知，点M应在直线l的右边，否则点M到F的距离大于它到l的距离；其
次，“点M与点F的距离为它到直线x+4=0的距离”，由此可知点M的轨迹是以F为焦点，
直线x+4=0为准线的抛物线.
解：如右图所示，设点M的坐标为（x,y)
由已知条件可知，点 M与点 F的距离等于它到直线 x+4=0的距离.
根据抛物线的定义，点M的轨迹是以F（4，0）为焦点的抛物线.
∵ 2
p =4
∴p=8
因为焦点在x轴的正半轴上，所以点M的轨迹方程为y2=16x.
［例2］斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线交于两点A、B，求线段AB
的长.
先请两名学生在黑板上做，最后老师与全体同学一起订正并归纳，可得以下三种解法.
如图所示，由抛物线的标准方程可知，焦点 F（1，0），准线方
程x=-1. 由题可知，直线AB的方程为y=x-1
代入抛物线方程y2=4x，整理得
x2-6x+1=0
解法一：解上述方程得
x1=3+2 2 ,x2=3-2 2
分别代入直线方程得
y1=2+2 2 ,y2=2-2 2
即A、B的坐标分别为（3+2 2 ，2+2 2 ），（3-2 2 ，2-2 2 ）
∴|AB|= 864)222222(2)223223( 22
解法二：设A(x1,y1)、B(x2,y2),则
x1+x2=6,x1·x2=1
∴|AB|= 2 |x1-x2|
8462
4)(2
2
21
2
21
xxxx
解法三：设A（x1,y1)、B(x2,y2),由抛物线定义可知，|AF|等于点A到准线x=-1的距离
|AA′|
即|AF|=|AA′|=x1+1
同理|BF|=|BB′|=x2+1
∴|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2=8
(打出投影片§8.5.2 B)
［例3］已知抛物线的焦点在 x轴上，抛物线上的点 M（-3，m)到焦点的距离等于5，
求抛物线的标准方程和 m的值.
分析：焦点在 x轴上的抛物线有两种形式，一种开口向右，另一种开口向左，因为 M
的横坐标是-3，所以开口向左.先设出抛物线标准方程，根据 M在抛物线上与M到焦点的距
离等于 5可得出两个方程.从而得出方程组，解方程组即可.另外也可根据抛物线定义，M
到焦点的距离等于M到准线的距离.因准线方程为x= 2
p ，则有 2
p +3=5，即可求得p，从而
得出抛物线方程.
解法一：设抛物线方程y2=-2px(p＞0)，则焦点F（- 2
p ,0)，由题设可得：
5)23(
6
22
2
pm
pm
解得
62
4
62
4
m
p
m
p 或
故抛物线的方程为y2=-8x,m的值为± 62 .
解法二：设抛物线方程为y2=-2px(p＞0)，则焦点F（- 2
p ,0），准线方程为x= 2
p .
根据抛物线的定义，M到焦点的距离等于5，也就是M到准线的距离等于5，则
2
p +3=5
∴p=4
因此抛物线方程为y2=-8x
又点M（-3，m)在抛物线上，于是
m2=24
∴m=± 62
评述：比较两种解法，可看出运用定义的方法简捷.
［例4］在抛物线y2=2x上求一点 P，使P到焦点F与到点A（3，2）的距离之和最小.
分析：P是抛物线上任一点，如按一般思路设出坐标，再用两点
间距离表示出 P到焦点 F的距离及 P到点 A的距离，接着得出一关系，
从而求最值的话，计算上太繁；此题可用抛物线的定义，用 P到焦点
F的距离等于 P到准线l的距离即可作出.
解：如下图所示，设抛物线的点 P到准线的距离为|PQ|
由抛物线定义可知：|PF|=|PQ|
∴|PF|+|PA|=|PQ|+|PA|
显然当P、Q、A三点共线时，|PQ|+|PA|最小.
∵A(3,2)，可设 P（x0,2)代入y2=2x得 x0=2
故点 P的坐标为（2，2）.
Ⅲ.课堂练习
（打出投影片§8.5.2 C)
1.焦点在 y轴上的抛物线被直线 x-2y-1=0截得的弦长为 15，求这抛物线的标准方
程.
分析：焦点是在 y轴正半轴上还是在 y轴负半轴上？本题没有指明，应当有两种情况，
可以分两种情况来解，但我们可以统一地设抛物线方程x2=ay(a≠0).
解：设抛物线方程为:x2=ay(a≠0)
由方程组
012
2
yx
ayx
消去 y得：2x2-ax+a=0
∵直线与抛物线有两个交点.
∴Δ=(-a)2-4×2×a＞0
即 a＜0或a＞8
设两交点坐标为A（x1,y1）、B(x2,y2),则
x1+x2= 2
a ,x1·x2= 2
a
∴|AB|= 2212 ))(1( xxk
)8(54
1
24)2()4
11(
2
2
aa
aa
∵|AB|= 15
∴ )8(54
1 2 aa = 15
即 a2-8a-48=0
解得 a=-4或a=12
∴所求抛物线标准方程为
x2=-4y或 x2=12y
2.已知抛物线y=x2，动弦AB的长为2，求AB中点纵坐标的最小值.
分析一：要求 AB中点纵坐标最小值，可求出 y1+y2最小值.从形
式上看变量较多，结合图形可以观察到 y1、y2是梯形ABC′D′的两底，
这样就使中点纵坐标y成为梯形的中位线，可以利用几何图形的性质
和抛物线定义求解.
解法一：设抛物线 y=x2的弦 AB的端点 A（x1,y1）、B(x2,y2)，中
点 M（x,y），抛物线 y=x2的焦点 F（0， 4
1 ），准线 y=- 4
1 .设
A、B、M到准线距离分别为AD、BC、MN.
∴2|MN|=|AD|+|BC|,且|MN|=y+ 4
1
根据抛物线定义，有
|AD|=|AF|,|BC|=|BF|
∴2（y+ 4
1 )=|AF|+|BF|
∵在△ABF中，|AF|+|BF|≥|AB|=2
∴2(y+ 4
1 )≥2
∴y≥ 4
3
即M点纵坐标的最小值为 4
3 .
分析二：要求AB中点纵坐标的最小值，可列出纵坐标 y关于某一变量的函数，然后求
此函数的最小值.
解法二：设抛物线y=x2上点A（a,a2)、B(b,b2),AB中点M（x,y).
∴x= 2,2
22 bayba
∵|AB|=2
∴(a-b)2+(a2-b2)2=4
则(a+b)2-4ab+(a2+b2)2-4a2b2=4
由2x=a+b,2y =a2+b2,得 ab=2x2-y
∴4x2-4(2x2-y)+4y2-4(2x2-y)2=4
整理得
y=x2+ 14
1
2 x
∴y= 4
1 (4x2+1)+ 14
1
2 x - 4
1
≥2 4
1 - 4
1
=1- 4
1 = 4
3
当且仅当 4
1 (4x2+1)= 14
1
2 x 即x=± 2
1 时等号成立.
∴AB中点纵坐标的最小值为 4
3 .
Ⅳ.课时小结
抛物线的定义反映了抛物线的本质，灵活利用定义往往可以化繁为简，化难为易，且
思路清晰，解法简捷，巧妙的解法常常来源于对定义的恰当运用，要很好地体会.
Ⅴ.课后作业
（一）课本P119习题8.5 3、7
（二）预习内容：抛物线的简单几何性质.
●板书设计
§8.5.2 抛物线及其标准方程
例题 练习题 课时小结
/6
