0 0 类别 : 教案

直线和平面平行教案 　 一、素质教育目标 （一）知识教学点 1．直线和平面平行的定义． 2．直线和平面的三种位置关系及相应的图形画法与记法． 3．直线和平面平行的判定． （二）能力训练点 1．理解并掌握直线和平面平行的定义． 2．掌握直线和平面的三种位置关系，体现了分类的思想． 3．通过对比的方法，使学生掌握直线和平面的各种位置关系的图形的画法， 进一步培养学生的空间想象能力． 4．掌握直线和平面平行的判定定理的证明，证明用的是反证法和空间直线 与平面的位置关系，进一步培养学生严格的逻辑思维。除此之外，还要会灵活运 用直线和平面的判定定理，把线面平行转化为线线平行． （三）德育渗透点 让学生认识到研究直线与平面的位置关系及直线与平面平行是实际生产的 需要，充分体现了理论来源于实践，并应用于实践． 二、教学重点、难点、疑点及解决方法 1．教学重点：直线与平面的位置关系；直线与平面平行的判定定理． 2．教学难点：掌握直线与平面平行的判定定理的证明及应用． 3．教学疑点：除直线在平面内的情形外，空间的直线和平面，不平行就相 交，课本中用记号a≮α统一表示a‖α，a∩α=A两种情形，统称直线a在平 面α外． 三、课时安排 1.7直线和平面的位置关系与1.8直线和平面平行的判定与性质这两个课题 安排为2课时．本节课为第一课时，讲解直线和平面的三种位置关系及直线和 平面平行的判定定理． 四、教与学过程设计 （一）直线和平面的位置关系． 师：前面我们已经研究了空间两条直线的位置关系，今天我们开始研究空 间直线和平面的位置关系．直线和平面的位置关系有几种呢？我们来观察：黑 板上的一条直线在黑板面内；两墙面的相交线和地面只相交于一点；墙面和天 花板的相交线和地面没有公共点，等等．如果把这些实物作出抽象，如把“墙 面”、“天花板”等想象成“水平的平面”，把“相交线”等想象成“水平的直 线”，那么上面这些关系其实就是直线和平面的位置关系，有几种，分别是什 么？ 生：直线和平面的位置关系有三种：直线在平面内；直线和平面相交； 直线和平面平行． 师：什么是直线和平面平行？ 生：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么这条直线和这个平面平 行． 师：直线和平面的位置关系是否只有这三种？为什么？ 生：只有这三种情况，这可以从直线和平面有无公共点来进一步验证：若 直线和平面没有公共点，说明直线和平面平行；若直线和平面有且只有一个公 共点，说明直线和平面相交；若直线和平面有两个或两个以上的公共点，根据 公理1，说明这条直线在平面内． 师：为了与“直线在平面内”区别，我们把直线和平面相交或平行的情况 统称为“直线在平面外”，归纳如下： 直线在平面内——有无数个公共点． 师：如何画出表示直线和平面的三种位置关系的图形呢？ 生：直线a在平面α内，应把直线a画在表示平面α的平行四边形内，直 线不要超出表示平面的平行四边形的各条边；直线a与平面α相交，交点到水 平线这一段是不可见的，注意画成虚线或不画；直线a与平面α平行，直线要 与表示平面的平行四边形的一组对边平行．如图1-57： 注意，如图1-58画法就不明显我们不提倡这种画法． 下面请同学们完成P.19．练习1． 1．观察图中的吊桥，说出立柱和桥面、水面，铁轨和桥面、水面的位置关系 （图见课本） 答：立柱和桥面、水面都相交；铁轨在桥面内，铁轨与水面平行． （二）直线和平面平行的判定 师：直线和平面平行的判定不仅可以根据定义，一般用反证法，还有以下 的方法．我们先来观察：门框的对边是平行的，如图1-59，a∥b，当门扇绕着 一边a转动时，另一边 b始终与门扇不会有公共点，即b平行于门扇．由此我 们得到： 直线和平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直 线平行，那么这条直线和这个平面平行． 求证：a∥α． 师提示：要证明直线与平面平行，只有根据定义，用反证法，并结合空间 直线和平面的位置关系来证明． ∴ a∥α或 a∩α＝A． 下面证明a∩α＝A不可能． 假设a∩α＝A ∵a∥b， 在平面α内过点A作直线 c∥b．根据公理4，a∥c．这和a∩c＝A矛盾， 所以a∩α＝A不可能． ∴a∥α． 师：从上面的判定定理可以知道，今后要证明一条直线和一个平面平行， 只要在这个平面内找出一条直线和已知直线平行，就可断定这条已知直线必和 这个平面平行，即可由线线平行推得线面平行． 下面请同学们完成例题和练习． （三）练习 例 1　 空间四边形相邻两边中点的连线，平行于经过另外两边的平面． 已知：空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点． 求证：EF∥平面 BCD． 师提示：根据直线与平面平行的判定定理，要证明 EF∥平面 BCD，只要在 平面 BCD内找一直线与 EF平行即可，很明显原平面 BCD内的直线 BD∥EF． 证明：连结BD． 性，这三个条件是证明直线和平面平行的条件，缺一不可． 练习（P.22练习1、2．） 1．使一块矩形木板ABCD的一边AB紧靠桌面α，并绕 AB转动，AB的对边 CD在各个位置时，是不是都和桌面α平行？为什么？（模型演示） 答：不是． 2．长方体的各个面都是矩形，说明长方体每一个面的各边及对角线为什么 都和相对的面平行？（模型演示） 答：因为长方体每一个面的对边及对角线都和相对的面内的对应部分平行， 所以，它们都和相对的面平行． （四）总结 这节课我们学习了直线和平面的三种位置关系及直线和平面平行的两种判 定方法．学习直线和平面平行的判定定理，关键是要会把线面平行转化为线线 平行来解题． 五、作业 P.22中习题三1、2、3、4． 六、板书设计 一、直线和平面的位置关系直线在平面内——有无数个公共点． 直线在平面外 二、直线和平面平行的判定 1．根据定义：一般用反证法． 2．根据判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那 么这条直线和这个平面平行． 直线和平面的位置关系： 直线和平面平行的判定定理 求证：a∥α 例： 已知：空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点． 求证：EF∥平面 BCD． 七、参考资料 《立体几何全一册》教学参考书 《三点一测丛书》高一数学 　 §1．8　 直线和平面平行的判定与性质（二） 　 一、素质教育目标 （一）知识教学点 直线和平面平行的性质定理． （二）能力训练点 用转化的方法掌握应用直线与平面平行的性质定理，即由线面平行可推得 线线平行． （三）德育渗透点 让学生认识到研究直线和平面平行的性质定理是实际生产的需要，充分体 现了理论联系实际的原则． 二、教学重点、难点、疑点及解决方法 1．教学重点：直线和平面平行的性质定理． 2．教学难点：直线和平面平行的性质定理的证明及应用． 理4，平面α内与 b平行的所有直线都与a平行（有无数条）．否则，都 与a是异面直线． 三、课时安排 1．7直线和平面的位置关系和1．8直线和平面平行的判定与性质这两个课 题安排为2课时，本节课为第二课时，讲解直线和平面平行的性质定理． 四、教与学过程设计 （一）复习直线和平面的位置关系及直线和平面平行的判定（幻灯显示） 师：直线和平面的位置关系有哪几种？ 生：有三种位置关系：直线在平面内，直线与平面相交，直线与平面平行． 直线与平面相交或平行统称为直线在平面外． 直线在平面内，说明直线与平面有无数个公共点；直线与平面相交，说明 直线与平面只有1个公共点；直线与平面平行，说明直线与平面没有公共点． 师：直线和平面的判定方法有哪几种？ 生：两种． 第一种根据定义来判定，一般用反证法． 第二种根据判定定理来判定：只要在平面内找出一条直线和已知直 α，a∥b，则 a∥α． （二）直线和平面平行的性质 师：命题“若直线a平行于平面α，则直线a平行于平面α内的一切直 线．”对吗？（幻灯显示） 生：不对． 师：为什么不对？（出示教具演示） 平行的所有直线（为 b′，b″）都与a平行（有无数条），否则，都与a 是异面直线． 师：在上面的论述中，平面α内的直线 b满足什么条件时，可以与直线a 平行呢？我们有下面的性质． 直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这 条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行． 求证：a∥b． 师提示：要证明同一平面β内的两条直线a、b平行，可用反证法，也可用 直接证法． 证明：（一）反证法． 假设直线a不平行于直线 b． ∴ 直线a与直线 b相交，假设交点为 O，则 a∩b＝O． ∴a∩α＝O，这与“a∥α”矛盾． ∴a∥b． （二）直接证法 ∵a∥α， ∴a与α没有公共点． ∴a与 b没有公共点． a和 b同在平面β内，又没有公共点， ∴a∥b． 下面请同学们完成例题与练习． （三）练习 例 2　 有一块木料如图1-65，已知棱BC平行于面A′C′．要经过木料表 面A′B′C′D′ 内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？所画的线和面 AC有什么关系？ 解：（1）∵BC∥面A′C′，面 BC′经过 BC和面A′C′交于 B′C′， ∴BC∥B′C′． 经过点P，在面A′C′上画线段 EF∥B′C′，由公理4，得：EF∥BC． 的线． （2）∵EF∥BC，根据判定定理，则EF∥面AC；BE、CF显然都和面AC相交． 总结：解题时，应用直线和平面平行的性质定理，要注意把线面平行转化 为线线平行． 练习：（P．22中练习3） 在例题的图中，如果AD∥BC，BC∥面A′C′，那么，AD和面 BC′、面 BF、 面A′C′都有怎样的位置关系．为什么？ ∥面 BC′．同理AD∥面 BF． 又因为 BC∥面A′C′，过 BC的面 EC与面A′C′交于 EF， （四）总结 本节课我们复习了直线和平面平行的判定，学习了直线和平面平行的性质 定理．性质定理的实质是线面平行，过已知直线作一平面和已知 直线都与已知直线平行． 五、作业 P．22—23中习题三5、6、7、8． 六、板书设计 直线和平面平行的性质定理： 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那 么这条直线就和交线平行． 性质定理的证明： 求证：a∥b． 例： 有一块木料，已知棱BC平行于面A′C′，要经过木料表面A′B′C′D′ 内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？所画的线和面AC有什么关系？ 练习： 在例中，若AD∥BC，BC∥面A′C′，那么，AD和面 BC′、面 BF、面A′C′ 都有怎样的位置关系，为什么？ 　 §1．9　 直线和平面垂直的判定与性质（一） 　 一、素质教育目标 （一）知识教学点 1．直线和平面垂直的定义及相关概念． 2．直线和平面垂直的判定定理． 3．线线平行的性质定理（即例题1）． （二）能力训练点 1．要善于应用平移手法将分散的条件集中到某一个图形中进行研究，特别 是辅助线的添加． 2．讲直线和平面垂直时，应注意引导学生把直线和平面关系转化为直线和 直线的关系．如直线和平面垂直，只须这条直线垂直于这个平面内的两条相交 直线，向学生渗透转化思想的应用． （三）德育渗透点 引导学生认识到，定理的证明过程实质是应用转化思想的过程：立体几何 的问题转化为平面几何的问题来解决，线、面垂直问题转化为线、线垂直问题来 解决．转化思想是重要的数学思想方法，在立体几何的证明和解题中，是一种 常用的思想方法． 二、教学重点、难点、疑点及解决方法 1．教学重点 （1）掌握直线和平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条 直线垂直，那么这条直线就和这个平面垂直． （2）掌握直线和平面垂直的判定定理： （3）掌握线线平行的性质定理： 若a∥b，a⊥α则b⊥α． 2．教学难点：在于线、面垂直定义的理解和判定定理的证明；同时还要解 决好定理证明过程中，辅助线添加的方法和原因，及为何可用经过 B点的两条 直线说明“任意”直线的问题． 3．教学疑点：判定定理的条件中，“相交”是关键，“两条”也是一个重 要条件，对于初学立体几何的学生来讲，是不好理解的，教师应该用实例说明 这两个条件缺一不可． 三、课时安排 本课题共安排2课时，本节课为第一课时． 四、学生活动设计（略） 五、教学步骤 （一）温故知新，引入课题 1．空间两条直线有哪几种位置关系？ （三种：相交直线、平行直线、异面直线） 2．经过一点和一条直线垂直的直线有几条？ （从两条直线互相垂直的定义可知：经过一点有无数多条直线和已知直线 垂直） 3．空间一条直线与一个平面有哪几种位置关系？ （直线在平面内、直线和平面相交、直线和平面平行．） 4．怎样判定直线和平面平行？ 师：我们已经知道，判定直线和平面平行的问题可以转化为考察直线和直 线平行的关系．今天我们转入学习直线和平面相交的一种特殊情形——直线和 平面垂直，这个问题同样可以从两条直线垂直的关系入手． （板书课题：§1．9直线和平面垂直） （二）猜想推测，激发兴趣 1．教师演示课本上的实例并指出书脊（想象成一条直线）、各书页与桌面 的交线，由于书脊和书页底边（即与桌面接触的一边）垂直，得出书脊和桌面 上所有直线垂直，书脊和桌面的位置关系给了我们以直线和平面垂直的形象． 从而引入概念：一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，我们说这条直线 和这个平面互相垂直，直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面． 2．指出：过一点有且只有一条直线和一个平面垂直；过一点有且只有一个 平面和一条直线垂直．平面的垂线和平面一定相交，交点叫做垂足． 3．说明直线和平面垂直的画法及表示． 师：要证明一条直线和一个平面垂直，若每次都要证明这条直线和平面上 每一条直线都垂直，显然是很麻烦也不必要的．让我们先看看木工师傅是如何 判断一根立柱是否和板面垂直的方法：用曲尺检查两次（只要两次，但曲尺靠 板面的尺，两次不能在同一条直线上），如果立柱、板面都和曲尺的两条边完全 吻合，便可断定立柱和板面垂直．从中你能得到判定直线和平面垂直的方法吗？ （引导学生进行猜想推测） （三）层层推进，证明定理 指导学生写出已知条件和结论，并画出图形如右： 求证：l⊥α 师：你如何证明直线和平面垂直呢？ 生：根据直线和平面垂直的概念，只需证明该直线和平面内的任何一条直 线都垂直即可． 师：设 g是平面α内的任意一条直线，现在只要证明 l⊥α就可以了．对 于平面α内不经过点 B的直线，可以过点 B作它的平行直线，所以，我们先证 明 l，g都经过点 B的情况． （生思考证明方法，教师在原有图形上适时添加辅助线，并对下列问题根 据需要作提示．） 1．l、g是相交直线，要证它们垂直，实际上已经转化为平面几何中的垂直 证明问题，可以考虑等腰三角形的性质．在直线 l上点 B的两侧分别取点A，A ′，使AB＝A′B． 2．直线 m、n和线段AA′是什么关系？ （m、n垂直平分AA′） 3．从结论看，直线 g与线段AA′应当有什么关系？（g垂直平分AA′） 4．怎样证明直线 g垂直平分线段AA′？ （只要 g上一点 E，有 EA＝EA′） 5．过 E作直线分别与 m、n交于 C、D，连结 AC、A′C、AD、A′D，则有：AC＝A ′C、AD＝A′D，由此能证明 EA＝EA′吗？ （利用全等三角形性质） （学生叙述证明过程，教师板书主要步骤．） 参看右图并作如下说明： 1．当直线 g与 m（或 n）重合时，结论是显然的． 2．如果直线 l、g有一条或两条不经过点 B，那么可过点 B引它们的平行直 线，由过点 B的这样两条直线所成的角，就是直线 l与 g所成的角，同理可证 这两条直线垂直，因而l⊥g． 3．要判断一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找 出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共 点，是无关紧要的． 这样我们有了直线和平面垂直的判定定理． （板书）如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这 条直线垂直于这个平面． 4．强调定理中“两条”和“相交直线”这两个条件的重要性，可举下面两 个反例，加深学生的理解． （1）将一块木制的大三角板的一条直角边AC放在讲台上演示，这时另一 条直角边 BC就和讲台上的一条直线（即三角板与桌面的交线AC）垂直，但它不 一定和讲台桌面垂直． （2）在讲台上放一根平行于大三角板直角边AC的木条 EF，那么三角板的 直角边 BC也垂直于 EF，但它不一定和讲台桌面垂直． （四）初步运用，提高能力 例 1　 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也 垂直于同一个平面． 分析：首先写出已知条件和结论，并画图形． 已知：a∥b，a⊥α　　 （如图1-68）． 求证：b⊥α， 要证明：b⊥α，根据判定定理，只要证明在平面α内有两条相交直线 m、n 与 b垂直即可． 证明：在平面α内作两条相交直线 m、n，设 m∩n＝A． 说明： 1．本例可以作为直线和平面垂直的又一个判定定理．这样，判定一条直线 与已知平面垂直，可以用这条直线垂直于平面内两条相交直线来证明，也可以 用这条直线的平行直线垂直于平面来证明． 2．课本书写的证明过程比较简洁，最好要求学生按照本教案示例书写． 练习（课后练习2）求证：如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直 线垂直于另两条直线确定的平面． 已知：OA⊥OB，OB⊥OC，OC⊥OA． 求证： OA⊥平面 BOC，OB⊥平面AOC，OC⊥平面AOB． 证明：（以证明 OA⊥平面 BOC为例，目的是强化书写格式） （五）归纳小结，强化思想 师：今天这节课，我们学习了直线和平面垂直的定义，这个定义最初用在 判定定理的证明上，但用得较多的则是，如果直线 l垂直于平面α，那么 l就 垂直于α内的任何一条直线；对于判定定理，判定线、面垂直，实质是转化成 线、线垂直，从中不难发现立体几何问题解决的一般思路． 六、作业 作为一般要求，完成习题四1、2、3、4． 提高要求，完成以下两个补充练习： 1．如图1-70，在正方形ABCD中，E、F分别是 BC、CD的中点，G是 EF的中 点，现在沿 AE、AF及 EF把这个正方形折成一个空间图形，使 B、C、D三点重合， 重合后的点记为 H，那么，在这个空间图形中必有　　　　　　　　　　　　 [　　　 ] A、AH⊥△EFH 所在平面 B、AD⊥△EFH所在平面 C、HF⊥△AEF所在平面 D、HD⊥△AEF所在平面 答案：选择（A） ∵AH⊥EH，AH⊥FH， ∴AH⊥平面 EFH． 讲评作业时说明：应用折叠不变性设计的本题，目的是用于培养学生的空 间想象能力和“转化”思想方法；折叠问题要注意应用折叠前、后平面图和立体 图中，各个元素间大小和位置关系不变的量． 2．如图1-71，MN是异面直线a、b的公垂线，平面α平行于a和 b， 求证：MN⊥平面α． 证明：过相交直线a和 MN作平面β， 设α∩β=a′， ∵a∥α． ∴ a∥a′ ∵ MN是a、b的公垂线，∴MN⊥a，于是 MN⊥a′． 同样过相交直线 b和 MN作平面γ， 设α∩γ＝b′，则可得MN⊥b′． ∵a′、b′是α 内两条相交直线，∴MN⊥α． 七、板书设计 （板书 1） 　 1．9　 直线和平面垂直的判定与性质（一） 　 1．定义 2．画法 3．表示 直线和平面垂直的判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都 垂直，那么这条直线垂直于这个平面． l⊥m，l⊥n． 求证：l⊥α （板书 2） 　 §1．9　 直线和平面垂直的判定与性质（一） 　 1．定义 2．画法 3．表示 直线和平面垂直的判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都 垂直，那么这条直线垂直于这个平面． 证明：在平面α内作两条相交直线 m、n， 设 m∩n=A 例 1　 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条垂直于同 一个平面． 已知： a∥b， a⊥α 求证：b⊥α （板书 3） 　 §1．9　 直线和平面垂直的判定与性质（一） 　 1．定义 2．画法 3．表示 直线和平面垂直的判定定理如果一条直线和一个平面内的两条 相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面． 证明：以证明 OA⊥平面 BOC为例 求证：如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线 确定的平面． 已知：OA⊥OB，OB⊥OC，OC⊥OA． 求证：OA⊥平面 BOC，OB⊥平面AOC，OC⊥平面AOB 　 §1．9　 直线和平面垂直的判定与性质（二） 　 一、素质教育目标 （一）知识教学点 1．直线和平面垂直的性质定理． 2．点到平面的距离． 3．直线和平面的距离． （二）能力训练点 1．掌握直线和平面垂直的性质定理，并能应用它们灵活解题． 2．掌握用反证法证明命题． （三）德育渗透点 通过例题2的学习向学生渗透转化的思想和化归的解题意识． 二、教学重点、难点、疑点及解决方法 1．教学重点： （1）掌握直线和平面垂直的性质定理： 若a⊥α，b⊥α，则 a∥b． （2）掌握点到平面的距离及一条直线和一个平面平行时这条直线和平面的 距离的定义． 2．教学难点：性质定理证明中反证法的学习和掌握，应让学生明确，对于 一些条件简单而结论复杂的命题，可考虑使用反证法． 3．教学疑点：设计一个综合题，引导学生思考点到平面的距离和直线到平 面的距离问题的互化． 三、课时安排 本课题共安排2课时，本节课为第二课时． 四、学生活动设计（常规活动，略） 五、教学步骤 （一）温故知新，引入课题 师：上节课，我们学习了直线和平面垂直的定义和判定定理，请两个同学 来叙述一下定义和判定定理的内容． 生（甲）：一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，我们说这两条直线 和这个平面互相垂直． 生（乙）：直线和平面垂直的判定定理是：如果一条直线和一个平面 内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面． （板书如右） 师：利用判定定理我们还证明了线线平行的性质定理（即例题1），也请 一个同学叙述一下． 生（丙）：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂 直于同一个平面． （板书）若a∥b，a⊥α则b⊥α． 师：这个用黑体字写成的例题可以当作直线和平面垂直的又一个判定定理， 现在请同学们改变这个定理的题设和结论，写出它的逆命题． 生：若a⊥α，b⊥α，则 a∥b． 师：下面就让我们看看这个命题是否正确？ （二）猜想推测，激发兴趣 教师写出已知条件并画出图形，作探讨性证明 已知：a⊥α， b⊥α（如图1-73） 求证：a∥b． 分析：a、b是空间中的两条直线，要证明它们互相平行，一般先证明它们 共面，然后转化为平面几何中的平行判定问题，但这个命题的条件比较简单， 想说明a、b共面就很困难了，更何况还要证明平行． 我们能否从另一个角度来证明，比如，a、b不平行会有什么矛盾？这就是 我们提到过的反证法． 师：您知道用反证法证明命题的一般步骤吗？ 生：否定结论→推出矛盾→肯定结论 师：第一步，我们做一个反面的假设，假定 b与a不平行，现在应该要推 出矛盾，从已知条件中的垂直关系，让我们想起例题1（线线平行定理），在 这个定理的已知条件中，平面有一条垂线，垂线有一条平行线，因此需要添加 一条辅助线． （三）层层推进，证明定理 证明：假定 b与a不平行 设 b∩α＝O，b′是经过点 O与直线a平行的直线， ∵ a∥b′，a⊥α，∴b′⊥α． 经过同一点 O的两条直线 b，b′都垂直于平面α是不可能的． 因此，a∥b． 由此，我们得到： 如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行． 师：这就是直线和平面垂直的性质定理； 师：学习了直线与平面垂直的判定定理和性质定理，我们再来看看点到平 面的距离的定义： 从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这 个平面的距离． （四）初步运用，提高能力 1．例题2 已知：一条直线 l和一个平面α平行．求证：直线 l上各点到平面α的距 离相等． 分析：首先，我们应该明确，点到平面的距离定义，在直线 l上任意取两 点A、B，并过这两点作平面α的垂线段，现在只要证明这两条垂线段长相等即 可． 证明：过直线 l上任意两点A、B分别引平面α的垂线AA1、BB1，垂足分别 为A1、B1 ∵ AA1⊥α，BB1⊥α， ∴ AA1∥BB1（直线与平面垂直的性质定理）． 设经过直线AA1和 BB1的平面为β， β∩α＝A1B1． ∵ l∥α，∴ l∥A1B1． ∴ AA1=BB1（直线与平面平行的性质定理）即直线上各点到平面的距离相 等． 师：我们再来学习直线和平面的距离的定义： 一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条 直线和平面的距离． 师：本例题的证明，实际上是把立体几何中直线上的点到平面的距离问题 转化成平面几何中两条平行直线的距离问题．这种把立体几何的问题转化成平 面几何的问题的方法，是解决立体几何问题时常常用到的方法． 2．思考（课后练习4） 安装日光灯时，怎样才能使灯管和天棚、地板平行？ 生：只要两条吊线等长． 师：转化为数学模型是， 如图1-76已知：直线 l上A、B两点到平面α的距离相等，求证：l∥α． 师：本题仿照例题2方法很容易证明，但以下的论述却是假命题，你知道 是为什么吗？ 直线 l上A、B两点到平面α的距离相等，那么 l∥α． 3．如图1-77，已知 E，F分别是正方形ABCD边AD，AB的中点，EF交AC于 M，GC垂直于ABCD所在平面． （1）求证：EF⊥平面 GMC． （2）若AB＝4，GC＝2，求点 B到平面 EFG的距离． 分析：第1小题，证明直线与平面垂直，常用的方法是判定定理；第2小 题，如果用定义来求点到平面的距离，因为体现距离的垂线段无法直观地画出， 因此，常常将这样的问题转化为直线到平面的距离问题． 解： （1）连结BD交AC于 O， ∵E，F是正方形ABCD边AD，AB的中点，AC⊥BD， ∴EF⊥AC． ∵AC∩GC＝C， ∴EF⊥平面 GMC． （2）可证 BD∥平面 EFG，由例题2，正方形中心 O到平面 EFG （五）归纳小结，强化思想 本节课，我们学习了直线和平面垂直的性质定理，以及两个距离的定义． 定理的证明用到反证法，证明几何问题常规的方法有两种：直接证法和间接证 法，直接证法常依据定义、定理、公理，并适当引用平面几何的知识；用直接法 证明比较困难时，我们可以考虑间接证法，反证法就是一种间接证法． 六、布置作业 作为一般要求，完成习题四5、6、7、8；提高要求，完成以下两个补充练习． 1．已知矩形ABCD的边长 AB＝6cm，BC＝4cm，在 CD上截取CE＝4cm，以 BE 为棱将矩形折起，使△BC′E的高C′F⊥平面ABED，求： （1）点 C′到平面ABED的距离； （2）C′到边AB的距离； （3）C′到AD的距离． 参考答案： （1）作 FH⊥AB于 H，作 FG⊥AD于 G，则C′H⊥AB， 2．如图1-79，已知：ABCD是矩形，SA⊥平面ABCD，E是 SC上一点． 求证：BE不可能垂直于平面 SCD． 参考答案：用到反证法，假设 BE⊥平面 SCD， ∵ AB∥CD；∴AB⊥BE． ∴ AB⊥SB，这与 Rt△SAB中∠SBA为锐角矛盾． ∴ BE不可能垂直于平面 SCD． 七、板书设计 板书（1） 　 §1．9　 直线和平面垂直的判定与性质（二） 　 判定定理 性质定理 如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行． 若a∥b，a⊥α则b⊥α 若a⊥α，b⊥α则 a∥b？ 反证法 证明：假定 b与a不平行 设 b∩α=O，b′是经过点 O与直线a平行的直线， ∵a∥b′，a⊥α， ∴b′⊥α． 经过同一点 O的两条直线 b、b′都垂直于平面α是不可能的． 因此，a∥b． 板书（2） 　 §1．9　 直线和平面垂直的判定与性质（二） 　 判定定理 性质定理 如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行． 点到平面的距离 直线和平面的距离 已知：一条直线 l和一个平面α平行． 求证：直线 l上各点到平面α的距离相等． 证明：过直线 l上任意两点A、B分别引平面α的垂线AA1、BB1，垂足分别 为A1、B1． ∵AA1⊥α，BB1⊥α，∴AA1∥BB1． 设经过直线AA1和 BB1的平面为β，β∩α=A1B1 ∵l∥α， ∴l∥A1B1． 即直线上各点到平面的距离相等． 板书（3） 　 §1．9　 直线和平面垂直的判定与性质（二） 　 判定定理 性质定理 如果两条直线同垂直于一个平面，那么这 点到平面的距离 直线和平面的距离 如图，已知 E，F分别是正方形ABCD边AD，AB的中点，EF交AC于 M，GC 垂直于ABCD所在平面． （1）求证：EF⊥平面 GMC；（2）若AB＝4，GC＝2，求点 B到平面 EFG的 距离．两条直线平行． （1）连结BD交AC于 O， ∵E，F是正方形ABCD边AD，AB的中点，AC⊥BD ∴EF⊥AC ∵AC∩GC＝C， ∴EF⊥平面 GMC 八、参考资料 《立体几何全一册》教学参考书 《三点一测丛书》高一数学 　 §1．10　 斜线在平面上的射影，直线和平面所成的角 　 一、素质教育目标 （一）知识教学点 1．点在平面上的射影，点到平面的垂线段． 2．有关平面的斜线的几个概念． 3．有关射影的几个概念． 4．射影定理． 5．有关直线和平面成角的几个概念． （二）能力训练点 1．加深对数学概念的理解掌握． 2．初步学会依据直线与平面成角的定义用于解决成角问题的一般方法． 二、教学重点、难点、疑点及解决方法 1．教学重点：射影定理的叙述和记忆及直线与平面成角的概念． 2．教学难点：定理的理解及有关直线与平面成角的练习． 3．教学疑点及解决方法： （1）“ 斜线在平面上的射影”是“直线和平面所成的角”的基础；“斜 线在平面上的射影”这一小节出现概念较多，为了便于学生理解和记忆，可以 边画出课本的图形1-30边讲解，结合图形记忆，快而且准．教学中，一般先画 出斜线AC与平面α斜交于 C，再过AC上一点A引 AB⊥α，垂足为点 B，连结 BC，然后指出AC是平面α上的斜线；线段AC是点A到平面α的斜线段，线段 AB是点A到平面α的垂线段，点 B是点A到平面α的垂线的垂足，直线 BC是 线段AC在平面α上的射影． （2）斜线段在平面上的射影是一条线段，斜线在平面上的射影是直线，垂 线和垂线段在平面上的射影退化成一个点． （3）为照顾一般习惯说法，课本中定义射影是用“在平面上”，而说点、 直线“在平面内”，并非不同． （4）射影定理中三个结论成立的前提是这些斜线段及垂线段必须是从平面 外同一点向平面所引而得到的，否则，结论不成立． （5）直线和平面相交，它们的相互位置与两条相交直线一样，仍需用角来 表示，但过交点在平面内可以作许多条直线，与平面相交的直线同平面内每一 条直线所成的角是不相等的，为了定义的准确性，所以取这些角中有确定值的 最小角，也就是取该斜线与其在平面上射影所成的锐角作为直线和平面所成的 角； （6）直线和平面的位置关系可以用直线和平面成角范围来刻划；反之，由 直线和平面所成角的大小也可以确定直线和平面的相互位置： ②直线和平面平行或直线在平面内，θ＝0°． ③直线和平面成角的范围是 0°≤θ≤90°． 三、课时安排 1课时． 四、学生活动设计 常规活动．（略） 五、教学步骤 （一）新课概念教学 1．点在平面上的射影，点到平面的垂线段自一点向平面引垂线，垂足叫做 这点在这个平面上的射影．这点与垂足间的线段叫这点到这个平面的垂线 段． 2．平面的斜线的有关概念 一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫这个平面的 斜线，斜线和平面的交点叫斜足，斜线上一点和斜足间的线段叫这点到这个 平面的斜线段． 3．射影的有关概念 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫斜线在这 个平面上的射影．垂足和斜足间的线段叫这点到平面的斜线段在这个平面上的 射影． 说明：教师边画出课本图形1-30，边讲解． 点 B—点A在平面上的射影 AB—点A到平面的垂线段 AC—平面的一条斜线 C—斜足 线段AC—斜线段 直线 BC—斜线AC在平面上的射影 线段 BC—斜线段AC在平面上的射影 （板书） （1）．点在平面上的射影． （2）．点到平面的垂线段． （3）．斜线、斜足、斜线段． （4）．斜线在平面上的射影． （5）．线段在平面上的射影． （二）射影定理 从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中， （1）射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长； （2）相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长； （3）垂线段比任何一条斜线段都短． 关于射影定理说明如下： 设A为平面α外一点，AO⊥α，AB、AC为任意两条斜线，O为垂足，则OB 和 OC分别是AB和AC的射影． 则 AB和AC分别为 Rt△ABO和 Rt△ACO的斜边；由勾股定理可知 AB2＝AO2+OB2； AC2＝AO2+OC2； 比较上面两个等式，得 还可以得到AB＞AO，AC＞AO．所以，AO过点A向平面α所引线段中最短 的一条． （三）直线与平面成角 1．定义： （1）平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和 平面所成的角． （2）直线和平面垂直——直线与平面所成的角是直角． （3）直线和平面平行或直线在平面内——直线与平面所成的角是 0°度 的角． 2．按照定义，在求直线和平面所成的角时，应按下述三种情况依次进行考 虑： （1） 直线和平面平行或直线在平面内时，直线和平面所成的角是 0°角； （2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角是直角； （3）直线和平面斜交时，直线和平面所在的角是指直线和它在平面内的射 影所成的锐角． 3．斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成 的一切角中最小的角．（让学生看书 3分钟，加以理解） （四）例题分析 1．如图1-82，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AA1、A1D1的中点， 求： （1）D1B1与面AC所成角的余弦值； （2）EF与面A1C1所成的角； （3）EF与面AC所成的角． 解： （2）45°． （3）45°． 2．如图1-83，Rt△ABC的斜边AB在平面 M内，AC和 BC与 M所成的角分别 是30°、45°，CD是斜边AB上的高，求CD与 M所成的角． 分析：作出 CD与平面 M所成的角，然后去解含这个角的三角形． 解：作 CC1⊥平面 M，连结 AC1、BC1、DC1，依题意 ∠CAC1＝30°，∠CBC1＝45°，设 CC1＝a，则 AC＝2a， ∴∠CDC1＝60°． 3．可让学生完成课后练习1、2． （五）归纳小结 这节课，我们学习了有关平面的斜线、射影和直线与平面成角的几个概念， 射影定理中的三个结论成立的前提是这些斜线段及垂线段必须是从平面外同一 点向平面所引而得到的．否则，结论不成立． 六、布置作业 作为一般要求，完成习题四9、10． 补充： 1．AB是直角三角形ABC的斜边，三个顶点在平面 M的同侧，它们在 M内的 射影分别是A1、B1、C1，如果三角形A1B1C1是正三角形，且AA1＝3cm，BB1＝ 5cm，CC1＝4cm．求三角形A1B1C1的面积． 解：设正三角形A1B1C1的边长为 x． 则 AC2＝x2+1 BC2＝x2+1 AB2＝x2+22 ∵AC2+BC2=AB2， 2．已知PA，PB，PC与平面α所成的角分别为 60°，45°，30°，PO⊥平 面α，O为垂足，又斜足 A，B，C三点在同一直线上，且AB＝BC＝10cm，求 PO 的长． 参考答案： 七、板书设计 　 §1．10　 斜线在平面上的射影，直线和平面所成的角 　 1．点在平面上的射影 2．点到平面的垂线段 3．斜线、斜足、斜线段 4．斜线在平面上的射影　　 5．斜线段在平面上的射影 射影定理 1．直线和平面相交， 2．直线和平面平行或直线在平面内，θ=0°． 3．直线和平面成角的范围是 0°≤θ≤90°． 板书（2） 　 §1．10　 斜线在平面上的射影，直线和平面所成的角 　 1．点在平面上的射影 2．点到平面的垂线段　　 3．斜线、斜足、斜线段 4．斜线在平面上的射影 5．斜线段在平面上的射影 射影定理 直线与平面成角 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AA1、A1D1的中点，求： 1．D1B与面AC所成角的余弦值； 2．EF与面A1C1所成的角； 3．EF与面AC所成的角． （2）45°（3）45° 板书（3） 　 §1．10　 斜线在平面上的射影，直线和平面所成的角 　 1．点在平面上的射影 2．点到平面的垂线段 3．斜线、斜足、斜线段 4．斜线在平面上的射影 5．斜线段在平面上的射影 射影定理 直线与平面成角 如图，Rt△ABC的斜边AB在平面 M内，AC和 BC与 M所成的 角分别是30°、45°，CD是斜边AB上的高，求CD与 M所成的角． 解：作 CC1⊥平面 M，连结 AC1、BC1、DC1，依题意∠CAC1= §1．11　 三垂线定理（一） 　 一、素质教育目标 （一）知识教学点 1．三垂线定理及其逆定理的形成和论证． 2．三垂线定理及其逆定理的简单应用． （二）能力训练点 1．猜想和论证能力的训练． 2．由线面垂直证明线线垂直的方法（线面垂直法）； 3．训练学生分清三垂线定理及其逆定理中各条直线之间的关系； 4．善于在复杂图形中分离出适用的直线用于解题． （三）德育渗透点 通过定理的论证和练习的训练渗透化繁为简的思想和转化的思想． 二、教学重点、难点、疑点及解决方法 1．教学重点 （1） 掌握三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜 线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直． （2）掌握三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的 一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直． 2．教学难点：两个定理的证明及应用． 3．教学疑点及解决方法 （1）三垂线定理及其逆定理，揭示了平面内的直线与平面的垂线、斜线及 斜线在平面内的射影这三条直线的垂直关系，其实质是平面内的一条直线与平 面的一条斜线（或斜线在平面内的射影）垂直的判定定理． （2）本节课的两个定理，涉及的直线较多，学生在认识和理解上都会存在 困难，为了加深印象并说明复杂的直线位置关系，可以采用一些教具，或者让 学生准备三根竹签，按照教师的要求摆放．在学生感性认识的基础上，进行理 性的证明和记忆，有助于定理的掌握． （3）三垂线定理是先有直线a垂直于射影 AO的条件，然后得到a垂直于 斜线PO的结论；而其逆定理则是已知直线a垂直于斜线PO，再推出a垂直于射 影 AO．在引用时容易引起混淆，解决的办法是，构造一个同时使用这两个定理 的问题，引导学生分清． （4）教学核心是定理的形成教学，教学的指导思想是：遵循由具体探究抽 象、由简单到复杂的认识规律，启发学生反复思考，不断内化成为自己的认知结 构． 三、课时安排 本课题共安排2课时，本节课为第一课时． 四、学生活动设计 三垂线定理及其逆定理的条件和结论都比较简单，但应用却很广泛，为了 培养学生的能力，应让学生探索定理的命题形式，充分利用好手中的三根竹签． 设计学生活动符合建构主义的教学思想，也符合教师为主导、学生为主体的 教学思想；教师根据教学要求，提出问题，创设情景，引导学生观察、猜想，主 动发现，主动发展，从而调动了学生学习的积极性． 五、教学步骤 （一）温故知新，引入课题 师：我们已经学习了直线和平面的垂直关系，学新课之前，让我们作个简 单的回顾： 1．直线和平面垂直的定义？ 2．直线和平面垂直的判定定理． 3．什么叫做平面的斜线、斜线在平面上的射影？ 4．已知平面α和斜线 l，如何作出 l在平面α上的射影？ （板书）l∩α＝A，作出 l在平面α上的射影 （二）猜想推测，激发兴趣 师：根据直线与平面垂直的定义我们知道，平面内的任意一条直线都和平 面的垂线垂直，那么，平面内的任意一条直线是否也都和平面的一条斜线垂直 呢？ （教师演示教具，用一个三角板的一条直角边当平面的斜线，一根包有色 纸的竹竿摆放在桌面的不同位置当作平面内的不同直线，学生容易看出它们不 一定互相垂直．） 师：是否平面内的任意一条直线都不和这条平面的斜线垂直呢？ （教师将三角板的另一条直角边平放在桌面上，并提示学生注意这条直角 边与平面的关系——在平面上，与斜线的关系——垂直．） 师：在平面上有几条直线和这条斜线垂直？ （学生可能会回答一条，也可能回答无数条，教师应调整桌面上的竹竿位 置，使其平行于三角板的直角边，然后平行移动，并向学生说明，这些直线都 与斜线垂直．） 师：平面内一条直线具备什么条件，才能和平面的一条斜线垂直？ （学生的直觉判断是要与那条和桌面接触的直角边平行，这是正确的，但 无多大用途；这时教师提醒学生注意斜线在平面内的射影，并调整教具，将三 角板的斜边当作平面的斜线，构成垂线、斜线和射影的立体模型；要求学生与同 桌配合，摆放课前准备的竹签成教师示范的模型；然后在教师的引导之下观察、 猜想，与同桌的探讨中发现了只要与斜线的射影垂直就和斜线垂直．） （三）层层推进，证明定理 师：猜测和实验的结论不一定正确，那么你想怎样证明这个猜想呢？ （若用幻灯或投影仪，可以节省板书时间．） 已知：PA、PO分别是平面α的垂线、斜线，AO是PO在平面α 求证：a⊥PO． 师：这是证明两条直线互相垂直的问题，你准备怎么证明？ 分析：从直线和平面垂直的定义可知，要证两条直线互相垂直，只要证明 其中一条直线垂直于另一条直线所在的平面即可． 师：这个平面你找到了吗？ 生：是平面PAO． 师：怎样证明a⊥平面PAO呢？ 生：只要证明a垂直于平面PAO内的两条相交直线． 证明： 说明： 1．定理的证明，体现了“由线面垂直证明线线垂直”的方法； 2．上述命题反映了平面内的直线、平面的斜线和斜线在平面内的射影这三 条直线之间的垂直关系，这就是著名的三垂线定理：在平面内的一条直线， 如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直． 3．改变定理的题设和结论，得到逆命题：在平面内的一条直线，如果和 这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直．可以用同 样的方法证明，这就是三垂线定理的逆定理（请学生简要说明其证明方法和 步骤）． 4．定理中包含了三个垂直关系：PA⊥α，AO⊥a，PO⊥a， 看出三垂线定理名称的来由． 5．从定理的条件看，关键的是直线和平面的相对位置关系，而与平面本身 是否水平放置无关；在平面内的直线a与斜线或斜线的射影的位置关系关键在 于垂直；这样直线a的如下四种位置关系，都是三垂线定理及其逆定理常见的 情形． 6．从定理的结论看，三垂线定理及其逆定理是判断直线垂直的重要命题． （四）初步运用，提高能力 1．（见课后练习题1．） 已知：点 O是△ABC的垂心，OP⊥平面ABC． 求证：PA⊥BC． （学生先思考，教师作如下点拨） （1）什么叫做三角形垂心？ （2）点 O是△ABC的垂心可以得到什么结论？ （3）可以考虑使用三垂线定理证明：你能找出本题中，应用三垂线定理必 须涉及到的几个重要元素？ 生：首先先确定一个平面——平面ABC，斜线是PA，PA在平面ABC上的射 影是AD，∵AD垂直于 BC，∴PA⊥BC． 师：他的回答是否有缺漏？ 生：应该交代 BC是平面ABC上的一条直线． 师：对，这个交代是必需的！（视学生程度作适当补充，用教具演示，还 可以举反例说明．） 证明：连接 AO并延长交 BC与 D． 师：三垂线定理是证明空间两条直线互相垂直的重要方法，上面的示例反 映了应用三垂线定理解题的一般步骤，即确定一个平面、平面的垂线、斜线和斜 线在平面上的射影．同时要注意的是平面内的一条直线和射影垂直，有这条直 线和斜线垂直（定理）；平面内的一条直线和斜线垂直，有这条直线和射影垂 直（逆定理），同学们必须理解掌握． 2．（见课本例 1）如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么 这一点在平面上的射影在这个角的平分线上． ⊥AC，PO⊥α，垂足分别是 E、F、O，PE＝PF． 求证：∠BAO＝∠CAO． （学生思考，教师作适当的点拨．） （1）在平面几何中，证明点在角的平分线上的常规方法是什么？ （2）PE＝PF给我们提供了什么结论？ （3）所缺的垂直关系可以用三垂线定理或逆定理证明，你能列出证明所需 的条件吗？ 证明： 3．（课堂练习，师生共同完成．） 如图1-91，点P为平面ABC外一点，PA⊥BC，PC⊥AB， 求证：PB⊥AC． 分析：证明直线与直线垂直的问题，可以考虑三垂线定理及其逆定理，图 形中缺少的平面的垂线需要添加上去． 证明：过P作平面ABC的垂线，垂足为 O，连结 AO、BO、CO． ∵ PA⊥BC，∴AO⊥BC（三垂线逆定理）． 同理可证 CO⊥AB，∴O是△ABC的垂心． ∵OB⊥AC，∴PB⊥AC（三垂线定理）． （五）归纳小结，强化思想 师：这节课，我们学习了三垂线定理及其逆定理，定理的证明方法是证明 空间两条直线互相垂直的基本方法，我们称之为线面垂直法；还通过三个练习 的训练加深了定理的理解，同时得到立体几何问题解决的一般思路． 六、布置作业 作为一般要求，完成习题四11、12、13． 提高要求，完成以下两个补充练习： 1．如图1-92，PA⊥△ABC所在平面，AB＝AC＝13，BC＝10，PA＝5，求点P 到直线 BC的距离． 参考答案： 设 BC的中点为 D，连结 PD． ∵AB＝AC＝13，BC＝10，∴AD⊥BC． 且AD＝12． 又∵PA⊥平面ABC，∴PD⊥BC． 即 PD的长度就是P到直线 BC的距离． 而 PD＝13． 2．（课后练习题2略作改变） 如图1-93，l是平面α的斜线，斜足是 O，A是 l上任意一点，AB是平面 α的垂线，B是垂足，设 OD是平面α内与 OB不同的一条直线，AC垂直于 OD 于 C，若直线 l与平面α所成的角θ＝45°，∠BOC＝45°，求∠AOC的大小． 参考答案：连结BC． 中，有∠AOC＝60°． 讲评作业时说明：求角大小的问题，往往先确定（或构造）一个包含这个 角的三角形，然后解三角形．由此，我们还验证了∠AOC＞θ． 七、板书设计 板书（1） 　 §1．11　 三垂线定理（一） 　 三垂线逆定理 三垂线定理 l∩α=A，作出 l在平面α上的射影 已知：PA、PO分别是平面α的垂线、斜线，AO是PO在平面α 求证：a⊥PO 　 板书（2） 　 §1．11　 三垂线定理（一） 　 三垂线定理 三垂线逆定理 已知：点 O是△ABC的垂心，OP⊥平面ABC． 求证：PA⊥BC． 证明：连接 AO并延长交 BC与 C， 板书（3） 　 §1．11　 三垂线定理（一） 　 三垂线定理 三垂线逆定理 如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的 射影在这个角的平分线上． 垂足分别是 E、F、O，PE＝PF． 求证：∠BAO＝∠CAO 板书（4） 　 §1．11　 三垂线定理（一） 　 三垂线定理 三垂线逆定理 如图，点P为平面ABC外一点，PA⊥BC，PC⊥AB， 求证：PB⊥AC． 证明：过P作平面ABC的垂线，垂足为 O，连结 AO、BO、CO． ∵PA⊥BC， ∴AO⊥BC（三垂线逆定理）． 同理可证 CO⊥AB． ∴O是△ABC的垂心， ∴OB⊥AC， ∴PB⊥AC（三垂线定理）． 　 §1．11　 三垂线定理（二） 　 一、素质教育目标 （一）知识教学点 三垂线定理及其逆定理的应用． （二）能力训练点 1．初步掌握三垂线定理及其逆定理应用的规律． 2．善于在复杂图形中分离出适用的直线用于解题． 3．进一步培养学生的识图能力、思维能力和解决问题的能力． （三）德育渗透点 通过强化训练渗透化繁为简的思想和转化的思想． 二、教学重点、难点、疑点及解决方法 1．教学重点：三垂线定理及其逆定理的应用规律． 2．教学难点：对复杂图形如何分离出符合定理的条件用以解题以及解决问 题的能力的培养是教学的难点． 三、课时安排 本课题共安排2课时，本节课为第二课时． 四、学生活动设计 常规教学，教师课前设计好幻灯片，上课时讲练结合，学生思考并记录关 键步骤，个别学生回答问题． 五、教学步骤 （一）温故知新，引入课题 师：上节课我们学习了三垂线定理及其逆定理，请一个同学来叙述一下定 理的内容． 生：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么 它也和这条斜线垂直． 生：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和 这条斜线的射影垂直． （学生回答时，教师画出图形，板书如下：） 并指出：a必须在平面α内，但不一定经过点 O． 师：从定理的结论看，三垂线定理及其逆定理是判断直线和直线垂直的重 要命题，在论证直线和直线垂直的问题中，我们常常用到它们．这节课，我们 就来学习它们的应用． （二）解题训练，提高能力 例 1　 Rt△ABC在平面α内，∠C＝90°，AC＝16，P为α外一点，PA＝ PB＝PC，如果P到 BC的距离为17，求点P到平面α的距离． 分析：求点到平面的距离，点到直线的距离，需要先作出这个距离，然后 在适当的三角形中解这个三角形，本题关键的问题是确定点P在平面a内射影 O 的具体位置和直角三角形的外心性质． 解：作PO⊥平面α， ∵　 PA＝PB＝PC， ∴　 OA＝OB＝OC． ∴　 O为 Rt△ABC的外心． 取BC中点 D，连结 PD、OD． 则OD是△ABC中位线． 由三垂线定理知PD⊥BC，即 PD＝17，在 Rt△ABC中，OP＝ 说明：这个例题通过三垂线定理证明直线与直线垂直，从而得到点到直线 的距离，利用勾股定理解直角三角形是这类问题的常用方法． 教师引导学生看书，并讲解课本例题： （课本例 2）道旁有一条河，彼岸有电塔 AB，高 15m，只有测角器和皮尺作 测量工具，能否求出电塔顶与道路的距离？ 例 2　 如图1-96，在正方体AC1中， 求证：（1）AC1⊥A1D． （2）AC1⊥平面A1BD． 分析：本例关键在于引导学生观察图形变化时，如何正确运用三垂线定理． 事实上，要证明AC1⊥A1D，满足的射影所在平面是竖直位置的平面 DA1，垂线 是 C1D1，斜线是AC1，射影是AD1．应当克服思维定势给证题带来的消极影响． 教学时，教师先写出第（1）小题的题目，让学生思考，并画出图形，写出 证法要点，教师作个别指点．然后，让一个学生板演，教师讲评．接着教师再 写出第（2）小题的题目，让全体同学观察、思考． 证明：（1）连结 AD1，由正方形可得． ∵AD1⊥A1D， C1D1⊥平面AD1， ∴AC1⊥A1D． （2）由（1）AC1⊥A1D， 同理可证：AC1⊥A1B． A1D∩A1B＝A1， ∴AC1⊥平面A1BD． 例 3　 点P为平面ABC外一点，PA⊥BC，PC⊥AB，求证：PB⊥AC． 证明：过P作PO⊥平面ABC于 O，连结OA、OB、OC． 例 4　 长方体ABCD-A1B1C1D1中，P、O、R分别是AA1、BB1、BC上的点， PQ∥AB，C1Q⊥PR． 求证：D1Q⊥QR． 分析：PQ∥AB提供的结论是PQ⊥平面 BB1C1C，又因为 C1Q⊥PR，在平面 BB1C1C上，利用三垂线逆定理，就可以得到 RQ⊥QC1；又因为 D1Q在平面 BB1C1C上的射影是 QC1，再在这个平面上利用三垂线定理，就可以得到结论． 证明：∵PQ∥AB，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，得 PQ⊥平面 BB1C1C，PR是 平面 BB1C1C的斜线，RQ是斜线PR在平面 BB1C1C上 ∴RQ⊥QC1． 又∵D1C1⊥平面 BB1C1C，D1Q是平面 BB1C1C的斜线，QC1是 ∴D1Q⊥QR． 说明：本题运用了三垂线定理及其逆定理，探讨了直线与直线垂直关系的 转换，图形中直线位置关系较为复杂，而且射影面也非常规位置，学生可能无 法轻易看出，教师应当适当引导． （五）归纳小结，强化思想 师：这节课，我们学习了三垂线定理及其逆定理的一些应用． 六、布置作业 （复习参考题一）8、9． 补充： 1．正三角形ABC的边长为a，AD⊥BC于 D，沿 AD把△ABC折起，使∠BDC＝ 90°，求折起后点 B到AC的距离． 解答：作 BE⊥AC于 E，连结DE． ∵BD⊥DC，BD⊥AD． ∴BD⊥平面ADC． 又∵BE⊥AC， ∴DE⊥AC． 2．Rt△ABC中，M是斜边AB的中点，PM⊥平面ABC，PM＝AC＝a，求点P到 BC边的距离． 解答：作PN⊥BC于 N，则 PN就是点P到 BC的距离． ∵PM⊥平面ABC， ∴MN⊥BC． 又∵AC⊥BC，M是AB的中点， 3．设P是△ABC所在平面 M外一点，当 P分别满足下列条件时，判断点P 在 M内的射影的位置． （1）P到三角形各边的距离相等． （2）P到三角形各顶点的距离相等． （3）PA、PB、PC两两垂直． 答案：设P在平面 M内的射影是 O． （1）O是△ABC的内心； （2）O是△ABC的外心； （3）O是△ABC的垂心． 七、板书设计 板书（1） 　 §1．11　　 三垂线定理（二） 　 例 1　 Rt△ABC在平面α内，∠C＝90°，AC＝16，P为α外一点，PA＝ PB＝PC，如果P到 BC的距离为17，求点P到平面的α的距离． 解：作PO⊥平面α． ∵PA＝PB＝PC， ∴OA＝OB＝OC． ∴O为 Rt△ABC的外心，取BC中点 D，连结 PD、OD． 则OD是△ABC中位线． 由三垂线定理知 PD⊥BC，即 PD=17． 例 2　 如图，在正方体AC1中， 求证：（1）AC1⊥A1D． （2）AC1⊥平面A1BD． 证明：（1）连结 AD1，由正方形，可得 ∴AC1⊥A1D． （2）由（1）AC1⊥A1D，同理可证： AC1⊥A1B　 A1D∩A1B＝A1，∴AC1⊥平面A1BD． 板书（2） 　 §1．11 三垂线定理（二） 　 例 3　 点P为平面ABC外一点，PA⊥BC，PC⊥AB，求证：PB⊥AC． 证明：过P作PO⊥平面ABC于 O，连结OA、OB、OC． 例 4　 长方体ABCD-A1B1C1D1中，P、Q、R是AA1、BB1、BC上的点． PQ∥AB，C1Q⊥PR　 求证：D1Q⊥QR