解无理不等式教案 1
教学目标
1．初步理解无理不等式的求解基本思路．
2．进一步培养学生的逻辑推理能力和运算能力．
3．进一步养成规范表述的习惯，提高学生思维的严谨性．
教学重点和难点
重点：求解的基本思路的形成与落实．
难点：分类讨论的正确使用．
教学过程设计
(一)新课引入
师：前面我们已经研究了一元一次不等式、一元二次不等式和一元
高次不等式，它们统称为整式不等式，继续又学了分式不等式．它们又
统称为有理不等式，今天我们该学习无理不等式的解法．
(板书：4．无理不等式)
(二)讲解新课
师：无理不等式一般是指在根号下含有未知数的不等式．今天我们
主要研究在二次根号下含有未知数的简单的无理不等式的解法．
(板书)
师：要解这个不等式，你的第一个想法是什么？
生：想保证根式有意义，让被开方式非负即 5－2x≥0．
生：想去掉根号．
师：这两个想法都有道理，也是我们必须要做的，若在这两件事中
选择一个做为第一件事，应该是谁呢？
生：应该先保证根式有意义，这是解决这个不等式的大前提．
师：讲得很好，但有了 5－2x≥0这个条件，我们并没有开始解，
如果开始解的话，应该做的仍然是去掉根号．为什么一定要去掉根号呢？
生：想把它化成学过的有理不等式．
师：用什么方法化去根号呢？
生：两边平方．
师：解不等式所进行的变换必须保证是等价变换，平方之后能保证
与原不等式等价吗？
生：不能保证等价．
师：为保证等价，不等式有什么根据可以用吗？
师：要平方，就应以此为根据．就需看不等式两边是否符合条件，
先看左式是否符合条件．
生齐答：没有问题，能保证它大于等于零．
师：右式怎样？
生：右式的符号不能确定，可能正，可能负，也可能为零．
师：怎么解决右式的符号问题呢？
生：进行讨论，对于大于等于零情况，根据性质，可以平方．对于
小于零情况可以单独研究．
师：好，思路搞清楚了，下面把刚才分析的内容表述出来，先说能
平方部分．
师：另一种情况该怎样研究呢？
生；若 x－1＜0，则此时左式是非负数，右式是个负数，左式大于
右式是一
要求解无理不等式必须两边平方，但我们找到的可等价平方的根据
是有条件的．如果满足条件都是正的，那就可以平方；如果不满足条件
像 x－1就必须进行分类讨论，这样将一个不等式等价地变换成两个不
等式组．
下面我们继续把它解出来，先把第一组解到底，每人只解一步．
(每一个不等式由一个学生来解，并明确要求解到什么程度)
(解到这里要求一定要画数轴找公共部分)
师：观察数轴，公共部分是什么？
生：等价于 1≤x＜2．
(最后指出表述上要加上等价符号，以体现各组不等式间的关系)
师：下面再解第二组不等式．
师：两个不等式组的解都有了，怎么处理两个组的解呢？
生：应该取并．
师：那么此不等式最终的解应是什么？
生：是 x＜2．
师：经过我们共同研究，完成了这个不等式的求解，把刚才的过程
简单小结一下．刚才我们主要做了这样两件事．
(1)搞清了求解的基本思路，求解无理不等式必有理化，手段是平方，
平方的根据是有条件的，满足条件直接平方，若不满足则需分类讨论．
(2)在运算上，注意顺序要合理，采用先横(写出等价组)再二竖(分别
解两个不等式组)，最后再横(求两组的并)，同时给出规范的表述，以作
为示范．
所以原不等式解集为{x|x＜2}．
师：对于以上这两件事是否真清楚了，下面几个题目有了一些变化，
看能否处理好．(先解决思路问题，第一组练习只要求做出等价变换)
(三)巩固练习
板书：
(要求学生讲清每个不等式的由来，讲清理由才是真正理解每个不
等式的功能)
师：不仅等价组是正确的，而且也讲清了为什么是这样两个不等式
组．
师：为什么只有这一个不等式组？
生：不等式两边均大于零，符合平方的条件，可以直接平方，无需
讨论．
师：讲得非常好，通过这个题目再次认识到分类讨论这种方法，一
定要想清楚使用原因．再正确使用，不能盲目套用，下面再看第(3)题．
师：此题在结构上与前面几个题目略有变化，请注意不等号的方向，
这种结构上的变化，是否会带来解法上的变化呢？
生：在解法上没有什么变化
(此时有些学生开始议论并举于提出异议)
生：我觉得解得不对，不应有第二个不等式组，原不等式应等价于
师：他们两人的意见到底谁对呢？请大家讨论一下，发表意见，说
明理由．
生甲：由于右式 x＋3的符号不能确定，所以要平方就必须进行分
类讨论，所以应该有两组．
生乙：由于左式是个非负数，右式大于等于一个非负数，所以右式
也应为非负数，故无需讨论，即可平方，只有第一个不等式组就够了．
生丙：我也认为应只有第一个不等式组．但我是这样考虑的．如果
对右式的符号进行分类讨论，当 x＋3＜0时，此时不等式变为“非负数
小于等于一个负数”，这是个矛盾不等式，故不等式无解．因此，第二
个不等式组写完整应该写为
这个不等式组的解集应为空集，这个不等式组就可以被省掉不写，
从形式上看就只有一个不等式组．
师：以上几位同学的意见都有一定的道理，表明同学们对于求解思
路都有自己的见解，通过分析最终我们发现这个不等式的求解应当等价
于不等式组
理由除了刚才后两位同学的解释以外(它们的解释角度不同，本质
相同)，还有一点重要的补充说明，由于两个不等式组之间是并的关系，
所以第二组不等式才可以被省掉．
通过这几个小题，帮助我们真正理解了等价变换思想的使用，对搞
清求解思路有一定的帮助．下面再来解决运算问题，大家一起解两个题，
注意运算的正确性和合理性．
(板书)
练习二：解下列不等式：
(由两个学生上黑板来做)
解：(1)原不等式
所以原不等式解集为{x|x＜0}．
(2)原不等式
所以原不等式的解集为{x|－9≤x≤－1}．
(待黑板上的同学完成后，老师根据巡视中发现的问题进行简单的
讲评)
师：两位同学的答案都是正确的，但在表述上有个别不规范之处提
醒大家注意．
①每一步之间应当用等价符号连结，以表明实施的是等价变换；
②求解不等式组的解应画出数轴，以便更直观地取公共部分．
此外，请同学们再反思一下整个求解过程，看有什么地方可以改进．
生：我觉得第(1)题中第一个不等式组可以不解 2x2－3x＋1≥0，解
另外两个就够了．
师：这个想法很大胆，不过必须能讲得清理由．这件事可以从等价
角度来加以解释，即
是否等价的问题．
生：这两个不等式组等价．因为
是没有问题的，而根据不等式的传递性，由 2x2－3x＋1＞(1＋
2x)2，(1＋2x)2≥0，
系统等价对这个题目来说能起到一定的简化作用，这种简化的思想
应当贯穿于我们整个求解过程之中，但必须真正搞清原因才能省略．
(四)小结
师：这节课的主要内容是无理不等式的求解问题，对这个问题的掌
握主要体现在
(1)把握求解基本思路，能正确实现等价转化．
(2)在表述上要规范，有条理，能在旧知识配合下，合理准确进行运
算．
(五)布置作业 课本习题略．
课堂教学设计说明
无理不等式的求解是解不等式中的重点内容，也是学生学习比较困
难的课题，困难主要发生在等价转化为有理不等式的思路上，所以本节
课的设计重点放在求解思路形成与落实上．
思路的形成重在学生的思维参与，学生获取知识必须通过学生自己
的一系列思维活动来完成．教师的课堂设计应给学生设计好符合学生认
知结构的学习程序，通过设问、提示、课堂讨论等多种方式，启发诱导学
生，激发学生的学习热情，使学生思维从始至终处于一种积极进取的兴
奋状态，这样通过教师引导，学生可自然有效地获取知识，就本节课而
言，通过学生研究探索，得到求解的基本思路与方法，最终教师再进行
概括、总结和提高．
思路的落实是教学效果的体现．一节课课堂上再热闹，再活跃，而
学生不能准确完成一个无理不等式的求解，这样的课堂设计是华而不实
的，真正的课堂必须讲究落实且在课堂上尽量提高落实的效果，为了解
决这个问题又重点在表述上下功夫．思维有方、表达无术，是很多学生
一个突出的毛病，教师的示范和对学生进行适当的训练是纠正这一毛病
的重要措施．例 1的解题过程，既是利用学生思维得到求解思路，又是
通过教师的示范，达到明确要求，规范书写的目的，而两个巩固练习题
让学生通过必要的模仿，克服表达无术的不足，且在讲评中再次强化表
述的要求，因此，无理不等式的求解，只有双管齐下，既理清思路又规
范表述，才能保证运算的合理性和准确性．
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