直线的倾角和斜率教案 2
教学目标
1．通过教学，使学生正确理解倾角及斜率的概念，熟练掌握已知
两点坐标求这两点所在直线斜率的公式及结合三角函数与反三角函数知
识进行斜率与倾角间的互化运算；
2．在讲授中培养学生思维的严谨性，注意学生语言表述能力的训
练；
3．充分利用斜率和倾角是从数与形两方面刻画直线相对于x轴倾
斜程度的两个量这一事实，在教学中培养学生数形结合的思想．
教学重点与难点
教学重点在于使学生明确直线的倾角与斜率这两个概念，熟练掌握
已知两点坐标求这两点所在直线斜率的公式．
教学难点，一方面在于如何使学生深刻理解直线的倾角及斜率这两
个概念，另一方面在于如何培养学生自觉应用数形结合思想考虑和解决
问题．
教学过程
一、新课引入
师：如何确定一条直线？
生：两点确定一条直线．
(在黑板上点出两点，利用教鞭演示两点确定一条直线．)
师：如果直线只通过其中一点，要确定这条直线还要增加什么条件？
生：这条直线的方向，也就是倾斜程度．
(教师在黑板演示)
师：好，今天我们就共同来研究如何刻画直线的倾斜程度．
(板书课题：直线的倾角及斜率)
二、讲授内容
师：我们习惯用角来刻画方向、倾斜程度，请看下列4张图，我们
选择哪个角来描述直线的倾斜程度？我们希望这个角符合习惯，并且能
够保证平面上任何一条直线都有唯一的角与之相对应．
生：(异口同声地)选α角来刻画直线的倾斜程度．
师：我们如何用数学语言来准确表述这个角呢？
生甲：直线与x轴所成的角．
生乙反驳：直线与x轴成角有4个，这样表述不严格，应为直线与
x轴正方向所成的角，
生丙反驳：直线与x轴正方向所成的角亦有两个．应改为直线向上
的方向与x轴正方向所成的角．
(学生安静，表示同意)
师：我们已经学习了《任意角的三角函数》一章知识，已经把角的概
念进行了拓宽，请同学们结合这部分知识考虑上述几位同学的表述是否
严谨．
生丁：由终边相同的角的概念，为了保证平面内任何一条直线有唯
一的角与之相对应，应表述为：直线向上的方向与x轴正方向所成的最
小角．
师：是否严谨？
生丁补充：最小正角．
师：是否严谨？请同学们全面考虑．
生戊：当直线l与x轴平行时，没有向上的方向，无法依照这一定
义找到角，是否要仿照立体几何中定义异面直线所成角那样规定一下当
l与x轴平行时，θ=0．
师：这个同学思维很全面，他不仅考虑到了l与x轴平行的情况，
而且利用旧有知识解决了这一问题，值得提倡．
师：好，现在我们的表述是严谨的．直线向上的方向与x轴正方向
限定了角的两边所在的射线，最小正角给出了角的范围，这样的表述可
以保证平面内的任一条直线都有唯一的角与之相对应．我们把这个角称
为直线的倾角．下面我请一位同学完整叙述一下倾角这个概念．
(请一位平时表述不够严谨的同学叙述这一概念，教师板书．)
师：依此定义，倾角α的取值范围应为？
生：α∈[0，π)．
(教师板书α∈[0，π))
师：我们定义了一个从“形”的方面刻画直线相对于x轴倾斜程度
的量—倾角，现在我们再定义一个从“数”的方面刻画直线相对于x轴
倾斜程度的量—斜率．倾斜角不是 90°的直线，倾角的正切值称为直线
的斜率．
(板书斜率定义．)
师：直线的倾角与斜率是否为一一对应的关系？
生：不是．当倾角是 90°时，它的正切值没有意义．
师：设α为直线l的倾角，设k为直线l的斜率，则当 k≥0及 k＜
0时，与之相应的α的取值范围是什么？
师：好，下面我们做一组练习．
1．判断正误．
(1)直线的倾角为α，则直线的斜率为 tanα；
(2)直线的斜率值为 tanβ，则该直线的倾角为β；
(3)因为所有直线都有倾角，故所有直线都有斜率；
(4)因为平行于 y轴的直线斜率不存在，所以平行于 y轴的直线倾
角也不存在．
(全体同学一起回答正误，第 2小题请一位学生改正．)
2．直线有倾角是直线斜率存在的________条件，直线斜率存在的
充分条件是________．(请一位同学回答)
3．直线l的斜率 k=2，则倾角α为________，
直线l的斜率 k=－2，则倾角α为________．
师：倾角与斜率是从“形”与“数”两方面刻画直线倾斜程度的两
个概念，可以说斜率是倾角的代数形式．
这节课开始，同学们提到两点可以确定一条直线，下面我们就来研
究已知两点 P1与 P2的坐标，如何计算 P1、P2两点所在直线的斜率．我们
仍然看图1－14．
对于图1－14给出的4种情况，如何利用 P1(x1，y1)和 P2(x2，y2)求
直线 P1P2的斜率？
(给两分钟让学生考虑)
生：根据三角函数的知识，对于直线l平行于x轴这种情况，由于
倾角α等于零，所以tanα=0，故斜率为零；对于直线l的倾角为锐角
这一情况，仿照推导定比分点坐标公式，分别过 P1、P2点向x轴、y轴作
垂线，垂足分别为 M1、M2、N1、N2，又M1P1与 P2M2交于点 Q，因为 N1P1∥x轴，
所以∠P2P1Q=α，tan∠P2P1Q=
角为钝角时，同样过 P1、P2点分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为
M1、M2、N1、N2，由于 N1P1平行于x轴，所以∠P2P1N1+α=π，tanα=－
tan∠P2P1N1=
师：这位同学分4种情况计算了过 P1(x1，y1)、P2(x2，y2)两点的直
线的斜率，我们能否得到统一的公式？
与刚才的计算相吻合；当直线l与x轴垂直时，P1与 P2两点的横坐
标相等，故若利
师：这个公式与 P1、P2两点的顺序是否有关？
师：下面我们做第二组练习．
求过下列两点的直线的斜率及倾角．
(1)P1(－2，3)，P2(－2，8)；
(2)P1(5，－2)，P2(－2，－2)；
(3)P1(－1，2)，P2(3，－4)．
生甲：因为(1)中 P1与 P2横坐标相等，故P1P2所在直线与x轴垂直，
所以斜率不存在，倾角为α=90°．
师：三位同学的回答正确，能否总结当 k在不同范围内取值时，倾
角α取值情况？
生：当 k＞0时，α=arctank，当 k=0时，α=0，当 k＜0时，
α=π+arctank．当 k不存在时，α=90°．
师：这位同学结合反三角函数的知识写出了斜率 k在不同取值范围
内所对应的倾角α的表达式，为我们的计算提供了方便．
三、课后小结
通过这节课的学习，我们引入了“倾角”和“斜率”这两个概念，
从“形”与“数”两方面去刻画直线相对于x轴的倾斜程度，并学习了
已知两点坐标求过这两点的直线斜率的公式，这些知识为我们进一步学
习直线的方程打下了良好的基础．
四、作业
书第 17页，练习
第 26页，习题二 1， 3， 5．
设计说明
“直线的倾角与斜率”这节课位于解析几何书的开始几节，是为以
后学习打基础的以讲授概念为主的一节课，内容只有“倾角”与“斜
率”两个概念及“两点所在直线的斜率”一个公式，内容较易理解．这
节课的重点在于使学生深刻理解概念、公式，为以后的学习扫清障碍．
同时要在与其它知识的联系上及学生数学语言表述能力，数形结合思想
的培养上大作文章．
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