0 0 类别 : 教案

不等式·解不等式复习课·教案 教学目标 1．通过复习小结，学生系统地掌握不等式的解法及其内在联系，提高学生 的解题技能． 2．通过对各类不等式内在联系的揭示，加深学生对等价转化的认识，为今 后进一步学习数学打好基础． 教学重点和难点 解不等式变形过程中等价变换思想的理解和进一步应用． 教学过程 师：我们已对哪些不等式的解法做了研究？ 生：一元一次不等式；一元二次不等式；简单的一元高次不等式；简单的 分式不等式；简单的无理不等式；简单的指数不等式；简单的对数不等式；含 有绝对值的不等式． 师：好．请先看几道题目． （教师板书，请三位学生到黑板上做，其余学生在笔记本上做题） 解下列不等式： 3．log2（x+1）＋log0.25（x-1）＞log4（2x-1）． （学生板书） 所以原不等式的解集为（-∞，-1）∪（0，3］． 2．解：原不等式 3．解：原不等式 所以原不等式的解集为（1，5）． （待三位学生写完后，教师开始讲评） 师：好，这三个题解得都很正确．请问做第3题的同学，原题中的底数有 2，0.25，4这三个，换底时你为什么选择以4为底呢？ 生：都用大于1的底其单调性看起来比较方便，所以不选0.25；如果用2 为底，那么以0.25，4为底的对数换底时真数中都要出现根号，而最后还要把 根式变成整式，太麻烦． 师：那为什么又要把左边减的一项挪到右边去呢？ 生：如果不移过去而直接运算的话，不等号左边的真数将是个分式，最后 也得变成整式，同样麻烦． 师：好．还有，左移项之后不等号右边对数运算时，为什么又多出两个条 件x-1＞0和 2x-1＞0呢？在不等式中不是有log4（x-1）（2x-1）一项在，它 已包含了（x-1）（2x-1）＞0吗？ 生：是因为x-1＞0且 2x-1＞0和（x-1）（2x-1）＞0这两个条件是不等价 的．如果略去x-1＞0和 2x-1＞0这两个条件将会扩大解的范围． 师：很好．这些问题都是我们在解不等式的过程中应该注意的．刚才我们 分别回顾了简单的分式不等式、无理不等式和对数不等式．在我们学习过的八类 不等式中，一元一次不等式和一元二次不等式是最简单、最基本的不等式，而像 我们刚才做的这些其他类型的不等式，我们是如何解决的呢？ 生：把它们转化为一元一次或一元二次不等式． 师：具体来说这个转化的目标是实现的呢？ 生：逐级转化：超越不等式代数化；无理不等式有理化；分式不等式整式 化；高次不等式低次化． 师：实现这些转化的理论依据是什么？ 生：第一个是利用函数的单调性，后三者是根据不等式的性质． 师：在这个转化的过程中，最应该注意的是什么？ 生：每一次变换必须是等价变换． 师：为什么要求这样？ 生：为了保证得到的解集与原不等式的解集相同． 师：我们在处理方程求解的问题时也遇到过这个问题．那时并不要求等价 变换，只要验一下根就可以了．这里不行吗？ 生：不行．因为一般方程的根只有有限的几个，增根可以通过检验的方式 找出来．而不等式的解集一般都是无限集，因此非等价变换产生的增根无法由 检验来剔除． 师：说得好．我们来通过几个例题来看看如何用等价变换解不等式． 师：这道题中的x参与了分式运算，还参与了无理运算．也就是说，我们 要做两次变换．应该先进行哪个变换呢？ 生：无所谓． 师：那就请两位同学来说说这两种做法． （学生口述，教师板书） 所以原不等式的解集为（-∞，-1）∪［2，＋∞）． 所以原不等式的解集为［2，＋∞）． 师：为什么这两种解法得到的解集不一样呢？ 变换就缩小了解的范围．故第一种解法是正确的． 师：对．我们在刚才的练习第三题中也遇到过这个问题，两式均大于0与 它们的积（或商）式大于0是不等价的，这是我们在处理等价变换时应该注意 的．对于这道题，我们就只能把它看作无理不等式．对复杂不等式的题型选择 离不开不等式的等价性．请再看这道题． 师：这道题看上去和例 1很像，如何处理？ 生甲：当然是先把绝对值号去掉，变成一个分式不等式，剩下的就和例 1 差不多了． 师：好，把你的方法写到黑板上． （学生板书） 所以原不等式的解集为（-∞，-1）∪（1，+∞）． 师：正确．这个解法是把题目看成了绝对值不等式，它和例 1的解法类似， 都是把根号或绝对值号中的式子先看成一个整体来考虑它的范围，这样做比较 容易保证等价性．这道题是否还有别的解法呢？ 生乙：有．这道题可以把它看作一个分式不等式，将不等式左边变 师：在例 1中这样做不对，这里会对吗？ 以保证等价． 师：好，写出你的解法． （学生板书） 所以原不等式的解集为（-∞，-1）∪（1，＋∞）． 的，因此这个不等式可以当作分式不等式来解．那么这两种解法哪个更好 呢？ 生：第二种更好算一些． 师：因此我们解决不等式问题时应先观察题目，在等价转化的前提下尽量 选择简捷的途径．请再看一道题． 师：这道题中的x也参加了对数运算和分式运算．应把它看作哪类不等式？ 生：x参与的对数运算只有logax，把这个整体看成一个未知数，就可以转 化成分式不等式了． 师：好，说说你的解法． （学生口述，教师板书） 又0＜a＜1，则原不等式 师：对．在解集的端点中含有字母系数时，要特别注意它们大小的比较． 下面大家自己做几个题目． （教师板书，学生在笔记本上做题） 练习：解下列不等式： （教师观察学生完成情况，视学生解题状况做出点评） 师：那如果把题目中的“≥”号改成“＞”号就可以直接去掉了吗？ 生：是．这样不会漏掉解． 师：试想，即使不影响结论，也是因为忽略的情况凑巧不在解集内．虽然 我们要求等价变换的目的是为了保证同解，但不能因为凑巧同解就忽视等价变 换． 师：有的同学对于第2题无从下手．对于题中的字母a我们如何处理呢？ 生：如果像例 3那样给定了0＜a＜1，那么不等式就可以转化为 师：那如果 a＞1呢？ 师：因此对于这种题目我们就要对字母系数和范围进行分类讨论．试着说 说刚才提到的两种情况下的解法． （学生口述，教师板书） 解：1°当a＞1时， 2°当 0＜a＜1时， 师：很好．对于含有字母系数的不等式，我们需要在必要时对字母系数的 范围进行讨论；并且在最后确定解集时，要注意对含有字母系数的区间端点的 大小比较． 师：我看到有的同学处理第3题时下手就把两边平方，这样做可以吗？ 生：可以，但不好．如果一平方，不等号右侧就成了四次式，那样过于麻 烦了． 师：那又如何处理呢？ 生：观察不等式，根号内、外的x的二次项、一次项的系数对应成比例，由 这可以想到使用换元法． 师：很好．这个方法我们在处理方程问题时就用过．把你的解法写出来． （学生板书） 所以原不等式的解集为（-3，-2）∪［1，2）． 师：很好．当我们处理一些复杂的不等式时，有时可借助换元法使问题简 化． 师：解不等式要立足基本题型，通过等价变换，把它们最终归结为一元一 次不等式或一元二次不等式的求解． 作业： 解下列不等式： 作业答案或提示： 3．｛x|0≤x＜1｝．可用换元法将根式当作一个整体． 课堂教学设计说明 1．作为不等式解法的复习课，我们把等价变换放在突出位置．也就是说， 要求每一次变形所得到的不等式和变形前的不等式是等价的．这与课本中有所 不同，课本原意是用同解不等式的观点作统帅．这样做有这样做的道理，但操 作上有困难．因为两个不等式是否同解，要等解出来以后，从结果才能看清楚， 用作为指导性的东西显得有些困难．我们强调等价变换是从过程看，这样做既 好操作，也符合逻辑，还容易看清楚，可以引导学生从逻辑上把解不等式理论 认识清楚． 2．在本节课中，没有给出不等式的这种分类（见分类表）．因为我们认为 应该淡化形式，注重实质，而且表中的不等式也并没有全部涉及到．我们对于 各类不等式的要求是不完全相同的，其中一元一次不等式、一元二次不等式分类 表： 的解法是最基本的，它是解各类不等式的基础．而解其他类型的不等式， 关键在于利用不等式的性质或相关函数的单调性，将其等价变换成一元一次或 一元二次不等式（组）再求解． 对于已分类学习研究过的不等式解法，复习并不是简单地罗列各种解法， 堆砌各类题型，这只是形式上的表面文章，冲淡了学生对其本质——等价变换 的认识．像3道例题，它们并不纯属于哪一类不等式，对于这类问题的讲解， 就要引导学生在立足基本题型、基本方法的基础上，抓住内在联系，把握基本思 想，有的要通过换元、分类讨论等手段，问题得以解决．