复合函数的导数教案 1
教学目的
1．使学生进一步明确复合函数的概念，并能正确地确定复合函数的中间变量；
2．使学生掌握复合函数的求导公式及其推导的方法；
3．使学生初步学会运用公式求复合函数的导数．
教学重点和难点
复合函数的求导公式是本节课的重点．复合函数概念和复合函数求导公式的推导
方法是本节课的难点．
教学过程
一、复习提问
求下列函数的导数：
(1)y＝(3x－2)2；(2)y=(x2)3．
(请一名学生板演，并将结果保留在黑板上，其余学生在座位上演算)．
解：(1)∵(3x－2)2=9x2－12x＋4，
∴ y'=(9x2－12x＋4)'=18x－12．(1)
二、引入新课
我们可以把复习提问第(1)题中的函数 y＝(3x－2)2看成由 y＝u2，u=3x－2复合而成
的，
而有
将(1)和(3)相比较有
再看复习提问第(2)题中的函数 y＝(x2)3，我们也可将它看成由 y＝u3，u＝x2复合而
成的函数，即
y=u3=(x2)3．
将(2)和(4)相比较也有
由此，我们可以得到以下两点启示：
(要对照前面两个具体例子加以解释．)
2．(*)和(**)得到的是同样的结论，它是否有普遍性？即能否作为复合函数求导的
法则？下面我们将给出证明．
三、讲解新课
分析：
所以要证明定理的结论成立，只需证明
因此上式等价于
追问：以上的分析有无漏洞？
(如果学生能指出分析过程中的漏洞，则给予充分肯定，如果学生发现不了，那么
教师应给予提示．)
因为 u是 x的函数，上述分析的过程中，Δu的变化是随着Δx的变化而变化的，
当 x改变Δx时，u既可能相应地有一个非零的改变量Δu，也可能有一个等于零的改
变量Δu=0．而上述分析过程必须在Δu≠0的前提下才能完成(这就是前面“分析”过
程的漏洞所在)．
那么Δu=0的情况如何呢？
当Δu=0时，定理给出的公式也是成立的．(证明略去，有兴趣的学生可以在课余
去思考或看有关参考书．)
证明：(请一名学生口述，教师代其板书，师生一起完成证明过程．)
上面定理实际上给出了复合函数的求导法则：复合函数对自变量的导数，等于已
知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数．
这个法则通过数学归纳法可以推广到两个以上的中间变量．例如，如果
y=y(u)，u＝u(v)，v＝v(x)，
例 1 求 y＝(2x＋1)5的导数．
解：设 y＝u5， u＝2x＋1，
＝5u4·2=5(2x＋1)4·2
＝10(2x＋1)4．
注意：在利用复合函数的求导法则求导数后，要把中间变量换成自变量的函数．
设 y=u-4，u=1－3x，则
＝2u·cosv·2
(在讲解以上三例时，着重引导学生找准各复合函数的中间变量，明确每次求导是
哪个变量对哪个变量求导．)
四、课堂练习
1．求下列复合函数的导数(设中间变量)：
熟练之后，可以不写出过程中设中间变量的步骤，例如解上面练习各题可以直接
写成：
(1)y'＝[(x2－1)3]'
(3)y'＝[(1＋sinx)2]'
＝2(1＋sinx)·cosx＝2cosx(1＋sinx)．
(4)y'＝[(1－cos2x)2]'
＝2(1－cos2x)·sin2x·2
＝4sin2x·(1－cos2x)．
如果更为熟练了，则上面求导过程中带“(*)”号的步骤也可以省去不写．
由课堂练习第(3)和第(4)题可见，对于经过多层次复合及四则运算而成的复合函数，
也可利用复合函数求导法则，由外向里逐层求导．
2．今后我们将要证明公式
(xa)′＝axa-1
对一切实数 a都成立．运用这个公式和复合函数求导法则求下列无理函数的导数：
(以上两题由教师带着学生完成．)
五、小结
2．求复合函数的导数，关键在于分析清楚函数的复合关系，并适当选定中间变量，
明确求导过程中每次是哪个变量对哪个变量求导．
3．对于经过多次复合及四则运算而成的复合函数，可以运用公式由外向里逐层求
导．
六、布置作业
1．把下列函数看成由一些比较简单的函数复合而成的，写出它们的复合过程：
2．求下列复合函数的导数(设中间变量)：
3．求下列函数的导数：
(3)y＝(1＋x2)2sin(ax＋b)；
(4) y＝(1＋cos2x)3．
4．求下列函数的导数：
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