任意角的三角函数教案 1
教学目标
1．使学生切实掌握任意角三角函数的定义．
2．使学生掌握三角函数的定义域及其确定方法．
3．使学生掌握三角函数值在各个象限内的符号．
4．使学生掌握诱导公式一．
教学重点与难点
教学难点为：任意角三角函数的定义．
教学重点为：三角函数的定义；三角函数的定义域及其确定方法；
三角函数值在各个象限内的符号以及诱导公式一．
教学过程设计
师：我们学过锐角的正弦、余弦、正切、余切四种函数，即在图 1中
所示的直角三角形ABC中，∠A是锐角，∠C是直角，那么(板书)
师：经过最近几节课的学习，我们知道角的概念已经被推广了，我
们现在所说的角可以是任意大小的正角、负角和零角，那么任意角的三
角函数是怎么定义的呢？直角三角形显然不能包含所有的角．
生：借助平面直角坐标系来定义．
师：好的．这位同学可能预习了．任意角三角函数就是在平面直角
坐标系内定义的．
设角α是一个任意大小的角，我们以它的顶点为原点，以它的始
边为 x轴的正半轴Ox，建立直角坐标系(图 2)．在角α的终边任取一点
P，它的横坐标是 x，纵坐标
正切、余切、正割、余割分别规定为(板书)
师：以前我们就知道，图 1中的四个比值的大小仅与角A的大小有
关，而与直角三角形的大小无关；同样，在图 2中，六个比值的大小也
仅与角α的大小有关，而与点 P在角α的终边上的位置无关．
师：下面咱们一起来看这六个三角函数，自变量是什么？是 x？是
y？是 r？还是角α？大家讨论一下．
生：……
师：通过大家的讨论，咱们可以看出，只要角α确定了，就能在
它的终边上取点，从而可确定 x，y，计算出 r的值，所以自变量应是角
α．
这些函数的函数值是什么呢？
生：两个量的比值．
师：也就是说是个实数．
由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，三角函数可以
看成是以实数为自变量的函数，即
实数→角(其弧度数等于这个实数)→三角函数值(实数)．
也就是说，三角函数是以角(实数)为自变量，以比值为函数值的函
数．
既然是研究函数，那么就要从函数最主要的内容——三要素入手，
而其中又以定义域和对应法则更重要，三角函数的对应法则我们可以由
解析式中直接看出．下面我们研究各个函数的定义域．
(这几个函数的定义域并不难求，只是务必使学生明确，函数的自
变量是角．定义域由学生一一做答，教师最后在黑板上列表总结．)
师：我们已经知道了三角函数的定义，下面我们就该应用定义解题
了．请看例 1．(板书)
例 1 已知角α的终边经过点 P(2，－3)，求α的六个三角函数值．
师：要求六个三角函数值，我们需要知道哪些量？
生：x，y，r．
师：我们是必须知道这三个量，还是知道其中两个量就行了？
生：只需知道其中的两个量．
师：例 1中是否有咱们所需要的两个量？
生：有．x=2，y=－3．
师：好的．这道题就由你来解，你说我往黑板上写．(板书)
师：由三角函数的定义，我们知道，已知角α终边上一点的坐标
就可以求六个三角函数值，若已知条件是某角的度数或弧度数，那么这
个角的终边位置也是唯一确定的，其三角函数值也应是唯一的．这类题
目应怎样求它的各个三角函数值呢？下面看例 2．(板书)
例 2 求下列各角的六个三角函数值．
师：咱们先看角 0的六个三角函数值怎么求．
生：没想好．
师：你觉得为什么不好求呢？
生：题目里没给出 x，y的值．
师：x，y的值与所给出的角有什么关系？
生：x，y是角的终边上一点的坐标．
师：角的终边上的哪点？
生：可以任意选取．
师：那当然要使所取点的坐标越简单越好了，你打算取哪点？
生：取(1，0)点．
师：现在这道题目你会做了吗？
生：会了．
师：你说我来写在黑板上．(板书)
师：这道小题会做了，下面的两道小题也就不成问题了．大家都在
笔记本上准备一下，一会儿，我叫几个同学说一下你们的答案．
(2)在角π的终边上任取一点(－1，0)，x=－
1，y=0，r=1，sinπ=0，cosπ=－1，tanπ=0，cotπ不存在，secπ=－
1，cscπ不存在；
师：下一个问题是确定一下各三角函数值在每个象限的符号．
我们知道，当角的概念被推广后，我们常常把角放到平面直角坐标
系中讨论．当角的顶点与坐标原点重合，角的始边落在 x轴的正半轴上
时，角的终边落在第几象限，就说这个角是第几象限角．现在，我们又
学习了三角函数，若一类三角函数值在同一个象限的符号是一致的，那
我们既可以根据角所在象限确定出相应的三角函数的符号，又可以利用
三角函数的符号确定出角所在的象限了．
下面咱们先看正弦函数的函数值在各个象限内的符号．(请好学生
回答)
生：对于 sinα，当角α在第一象限内时，它的符号是正的，当角
α在第二象限时，……
师：等等，你所说的第一条结论正确，你能不能把你的解题方法具
体地告诉我们？(尽量突出这节课的主要内容．)
α的终边落在第一象限内，而第一象限内的点的坐标都是正的，所
以 sinα＞0．
师：解题思路非常清楚，就是下结论前的叙述显得有点匆忙，不够
确切．咱们看这样说是不是更好些？前边的就用他的说法，接着说，第
一象限内的点的纵坐标都为
号为“＋”．
师：这个结论一经推出，其余问题我们也就都会解决了．下面我们
再把角落在第二、第三、四象限内，将正弦函数的函数值的符号确定一下．
当角α在第三象限时，sinα的符号为“－”；当角α在第四象限
时，sinα的符号也为“－”．
符号一致？
生：与 y的符号一致．
师：好的．现在正弦函数的问题咱们已经解决了，下面该确定余弦
函数的函数值在各个象限内的符号了．我想，得出正确结论已经不是什
么难事了．只是如果请你说，你能叙述得完整吗？另外，你还有没有别
的办法解决这个问题？
的符号是由 x确定的，而且与 x的符号相同．x是角α所在象限内
的点的横坐标，所以当角α在第一象限内时，cosα的符号为“＋”，
当角α在第二或第三象限时，cosα的符号为“－”；而当角α在第
四象限时，cosα的符号为“＋”．
师：回答得很好．各个量之间的关系都说得非常清楚、准确．
生：还可以简单地记为：余弦函数值的符号与 x的符号一致．
师：也对．只是这个结论前的一些推理咱们必须清楚．
生：对于第一、三象限内的角，正切值为正的，因为此时 x，y同号；
对于第二、四象限内的角，正切值为负的，因为此时 x，y异号．
师：完全正确．我们研究清楚了正弦、余弦、正切函数的函数值在各
个象限内的符号，剩下的三个三角函数的函数值在各个象限内的符号就
好确定了．为什么？
的符号一致．
师：很好．为了便于记忆，我们不妨把刚才的结论总结于坐标系中，
看看这种直观、形象的方式是否适合于你？(板书)
师：现在我们知道了三角函数的函数值是由角的终边的位置决定的．
显然，当两个角相差 360°的整数倍时，它们俩的终边相同，所以它们
的同一个三角函数的值相等．由此得到一组公式(公式一)．(板书)
师：这组公式使我们可以把任意角的三角函数值的问题，转化为
0°～360°(或 0～2π)间的角的三角函数值的问题．(板书)
例 3 确定下列各三角函数值的符号．
(教师边分析边板书)
解 (1)因为 250°是第三象限的角，所以 cos250°＜0．
(3)(由学生解)
因为 tan(－672°10′)=tan(－2×360°＋47°50′)=tan47°50′，
又因为 47°50′是第一象限角，所以 tan(－670°10′)＞0．
师：下面咱们接着做例 4．(板书)
例 4 根据条件 sinθ＜0且 tanθ＞0，确定θ是第几象限角．
(教师边讲边写)．
解 因为 sinθ＜0，所以θ在第三象限或第四象限，或θ的终边
落在 y轴的负半轴上．
因为 tanθ＞0．所以θ在第一象限或第三象限．
由于 sinθ＜0与 tanθ＞0同时成立，所以θ在第三象限．
师：下面咱们小结一下这节课，这节课的主要内容是任意角三角函
数的定义，通过对这一定义的学习，我们要掌握六个三角函数的定义域，
要会利用定义，求出各三角函数在每个象限的符号并且记住各结论．要
知道公式一的理论依据就是任意角三角函数的定义，当然还要掌握公式
一．
作业：课本 P138练习一第 1，2，3，4，5，6题．其中第 2，3题
写在书上，其余的写在本上．
课堂教学设计说明
1．复习锐角三角函数．
2．讲解任意角三角函数的定义．
3．用列表的形式总结出各个三角函数的定义域．
4．例 1是三角函数定义的最简单、直接的应用．例 2是应用任意角
三角函数的定义解题．
5．利用三角函数的定义和各象限内点的坐标的符号，确定各三角
函数值在每个象限的符号．
6．诱导公式一
7．例 3和例 4．
8．小结、作业．
为什么要采取以上步骤呢？因为本节课的重点和难点就是任意角三
角函数的定义，而其余内容均是关于任意角三角函数的定义的应用，所
以对于这一定义，不仅安排了复习锐角的三角函数，而且还安排了两道
应用定义的例题，即例 1和例 2．此外，三角函数与学生们以往所学过
的函数从形式上看区别很大，有的学生可能一时找不对自变量，所以，
在讲课时注意强调了三角函数的自变量是角，并在此基础上，应用新学
的任意角三角函数的定义，求出各个三角函数的定义域．
应用三角函数的定义，可判断出三角函数在各个象限的符号．对于
这点，教师觉得学生完全有能力自己完成，所以，这块知识是以教师提
问学生回答，最后一起做总结的形式完成的．
诱导公式一，也是任意角三角函数定义的再次应用，有了它，我们
就可以把求任意角的三角函数值问题，转化为求 0°～360°(或 0～2π)
间角的三角函数值的问题了．
板书设计
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