§4.10.1 正切函数的图象和性质教案
●教学目标
(一)知识目标
1.正切函数的图象；
2.正切函数的性质.
(二)能力目标
1.会用单位圆中的正切线画出正切函数的图象；
2.理解正切函数的性质.
(三)德育目标
1.用数形结合的思想理解和处理有关问题；
2.发现数学规律；
3.提高数学素质，培养实践第一观点.
●教学重点
正切函数的图象和性质
●教学难点
正切函数的性质的简单应用
●教学方法
引导学生用数形结合的思想理解和处理有关问题.(启发引导式)
●教具准备
幻灯片一张
内容：课本P69图4—27，§4.10.1
●教学过程
Ⅰ.课题导入
师：常见的三角函数还有正切函数，前面我们研究了正、余弦函数的图象和性质，今天
我们来探讨一下正切函数的图象，以及它具有哪些性质?
Ⅱ.讲授新课
师：为了精确，我们还是利用单位圆中的正切线来画一下正切曲线.
∵tan(π＋x)＝ x
x
x
x
cos
sin
)cos(
)sin(
＝tanx
(其中x∈R，且x≠ 2
＋kπ，x∈Z)
根据周期函数定义，可知正切函数也是周期函数，且π是它的周期.
现在利用正切线画出函数
y＝tanx，x∈(－ 2
， 2
)的图象
师：引导学生完成.
生：在教师指导下完成.
师：打出幻灯片§4．10．1，让学生对照
然后说明可将所得图象向左、右平移，即可得到 y＝tanx，x∈R 且 x≠ 2
＋kπ，
(k∈Z)的图象，叫做正切曲线.
师：引导学生观察得出正切曲线的特征：
正切曲线是被相互平行的直线x＝ 2
＋kπ(k∈Z)所隔开的无穷多支曲线组成的.
师：现在我们根据正切曲线来看一下正切函数有哪些主要性质.
(师生共同完成以下活动)
(1)定义域：｛x｜x≠ 2
＋kπ，k∈Z｝
(2)值域：R
(3)周期性：正切函数是周期函数，且周期T＝π
(4)奇偶性：∵tan(－x)＝－tanx
∴正切函数是奇函数
∴正切曲线关于原点O对称
(5)单调性：正切函数在开区间(－ 2
＋kπ， 2
＋kπ)，k∈Z 内都是增函数.
注意：①正切函数在整个定义域上不具有单调性，因为它的定义域不连续，所以不能
说它在整个定义域内是增函数.
②正切函数在每个单调区间内都是增函数
下面，来看性质的简单应用.
［例1］求函数y＝tan2x的定义域.
解：由2x≠kπ＋ 2
，(k∈Z)
得 x≠ 2
k ＋ 4
，(k∈Z)
∴y＝tan2x的定义域为：
｛x｜x∈R 且x≠ 2
k ＋ 4
，k∈Z｝
［例2］观察正切曲线写出满足下列条件的x的值的范围：tanx＞0
解：画出 y＝tanx在(－ 2
， 2
)上的图象，不难看出在此区间上满足 tanx＞0的 x
的范围为：
0＜x＜ 2
结合周期性，可知在 x∈R，且 x≠kπ＋ 2
上满足的 x的取值范围为(kπ，kπ＋ 2
)(k∈Z)
［例3］不通过求值，比较 tan135°与 tan138°的大小.
解：∵90°＜135°＜138°＜270°
又∵y＝tanx在 x∈(90°，270°)上是增函数
∴tan135°＜tan138°
Ⅲ.课堂练习
生：(板演练习)课本P71 2.(3)、3、6
2.(3)tanx＜0的 x的取值范围为：
｛x｜kπ－ 2
＜x＜kπ，k∈Z}
3.y＝tan3x的定义域为｛x｜x≠ 3
k ＋ 6
，k∈Z｝
6.tan(－ 4
13 π)＝－tan 4
3 ＝tan 4
tan(－ 5
17 π)＝－tan 5
17 ＝－tan 5
2
∴tan(－ 4
13 π)＞tan(－ 5
17 π)
Ⅳ.课时小结
师：通过本节学习，要掌握正切函数的图象，理解它具有的主要性质，并会应用它解
决一些较简单问题.
Ⅴ.课后作业
(一)课本P72，习题4.10 1、4、5
(二)1.预习正切函数的性质的应用
2.预习提纲
(1)y＝tan(x＋ )的单调性如何?
(2)y＝tanωx的周期又如何?
●板书设计
课题
一、正切函数的图象和性
质
(1)定义域
(2)值域
(3)周期性
(4)奇偶性
(5)单调性
二、例题讲解
例1
例2
例3
●备课资料
1.正切函数在其定义域上有最值吗?
答：没有，因为正切函数的值域为R 且不等于kπ＋ 2
(k∈Z)．
2.在下列函数中，同时满足的是( )
①在(0， 2
)上递增；②以2π为周期；③是奇函数
A.y＝tanx B.y＝cosx
C.y＝tan 2
1 x D.y＝－tanx
答案：C
3.函数 y＝tan(2x＋ 4
)的图象被平行直线 )(82 Z k
kx 隔开，与 x轴交点的坐
标是 ))(0,82( Z k
k 与 y 轴交点的坐标是(0 ， 1)，周期是 2
，定义域的集合是
},82|{ ZR k
kxxx 且 ，值域的集合是R，它是非奇非偶函数.
4.函数y＝ xsin ＋ xtan 的定义域是( )
A.(2k＋1)π≤x≤(2k＋1)π＋ 2
，k∈Z
B.(2k＋1)π＜x＜(2k＋1)π＋ 2
，k∈Z
C.(2k＋1)π≤x＜(2k＋1)π＋ 2
，k∈Z
D.(2k＋1)π＜x＜(2k＋1)π＋ 2
或 x＝kπ，k∈Z
解：由
0tan
0sin
x
x
，得(2k＋1)π≤x＜(2k＋1)π＋ 2
答案：C
5.已知y＝tan2x－2tanx＋3，求它的最小值.
解：y＝(tanx－1)2＋2
当 tanx＝1时，ymin＝2
附：函数 f(x)±ｇ(x)最小正周期的求法.
若f(x)和ｇ(x)是三角函数，求 f(x)±ｇ(x)的最小正周期没有统一的方法，往往因题
而异，现介绍几种方法：
一、定义法
［例1］求函数y＝｜sinx｜＋｜cosx｜的最小正周期.
解:∵y＝｜sinx｜＋｜cosx｜＝｜－sinx｜＋｜cosx｜＝｜cos(x＋ 2
)｜＋｜sin(x
＋ 2
)｜＝
｜sin(x＋ 2
)｜＋｜cos(x＋ 2
)｜
对定义域内的每一个 x，当 x增加到x＋ 2
时，函数值重复出现，因此函数的最小正
周期是 2
.
二、公式法
这类题目是通过三角函数的恒等变形，转化为一个角的一种函数的形式，用公式去求，
其中正余弦函数求最小正周期的公式为T＝ ||
2
，正余切函数T＝ ||
．
［例2］求函数y＝cotx－tanx的最小正周期.
解：y＝ x
xxx tan
tan1tantan
1 2 ＝2· xx
x 2cot2tan2
tan1 2
∴T＝ 2
三、最小公倍数法
设f(x)与ｇ(x)是定义在公共集合上的两个三角周期函数，T1、T2分别是它们的周期，
且 T1≠T2，则 f(x)±ｇ(x)的最小正周期 T1、T2的最小公倍数，分数的最小公倍数＝
分母的最大公约数
分子的最小公倍数
［例3］求函数y＝sin3x＋cos5x的最小正周期.
解：设 sin3x、cos5x 的最小正周期分别为 T1、T2，则 5
2,3
2
21
TT ，所以 y＝
sin3x＋cos5x的最小正周期T＝2π／1＝2π.
［例4］求y＝sin3x＋tan 5
2x 的最小正周期.
解：∵sin3x与 tan 5
2x 的最小正周期是 3
2 与 2
5 ，其最小公倍数是 1
10 ＝10π.
∴y＝sin3x＋tan 5
2x 的最小正周期是10π.
四、图象法
［例4］求y＝｜sinx｜的最小正周期.
解：由y＝｜sinx｜的图象：
可知y＝｜sinx｜的周期T＝π.
/1
