0 0 类别 : 教案

小结与复习教案 ●教学目标 (一)知识目标 1.本身知识网络结构； 2.向量概念； 3.向量的运算律； 4.重要的定理、公式. (二)能力目标 1.了解本章知识网络结构； 2.进一步熟悉基本概念及运算律； 3.理解重要定理、公式并能熟练应用； 4.加强数学应用意识，提高分析问题，解决问题的能力. (三)德育目标 1.认识事物之间的相互转化； 2.培养学生的数学应用意识. ●教学重点 突出本章重、难点内容. ●教学难点 通过例题分析突出向量运算与实数运算的区别. ●教学方法 自学辅导法 在给出本章的知识网络结构后，列出复习提纲，引导学生补充相关内容，同时加强学 生对基本概念、基本运算律、重要定理、公式的熟悉程度. ●教具准备 投影仪、幻灯片(三张) 第一张：本章知识网络图(记作§5.13.1 A) 第二张：向量运算法则(记作§5.13.1 B) 第三张：本节例题(记作§5.13.1 C) ●教学过程 Ⅰ.复习回顾 师：前面一段，我们一起学习了向量的知识以及解斜三角形问题，并掌握了一定的分 析问题解决问题的方法.这一节，我们开始对本章进行小结与复习. Ⅱ.讲授新课 师：首先我们通过投影屏幕来看向量知识的网络结构(给出投影片§5.13.1 A) 1.本章知识网络结构 2.本章重点及难点 (1)本章的重点有向量的概念、运算及坐标表示，线段的定比分点，平移、正弦定理、余 弦定理及其在解斜三角形中的应用； (2)本章的难点是向量的概念，向量运算法则的理解和运用，已知两边和其中一边的对 角解斜三角形等； (3)对于本章内容的学习，要注意体会数形结合的数学思想方法的应用. 3.向量的概念 (1)向量的基本要素：大小和方向. (2)向量的表示：几何表示法： AB，a； 坐标表示法：a＝ｘｉ＋ｙj＝（ｘ，ｙ）. (3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a｜. (4)特殊的向量：零向量a＝O ｜a｜＝O. 单位向量a O为单位向量 ｜a O｜＝1. (5)相等的向量：大小相等，方向相同 (ｘ 1，ｙ 1)＝（ｘ 2，ｙ 2）     21 21 yy xx (6)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作 a∥b.由于向 量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也 称为共线向量. 4.向量的运算 (给出幻灯片§5.13.1 B) 5.重要定理、公式 (1)平面向量基本定理 e 1，e 2是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有 一对实数λ1， λ2，使a＝λ1e 1＋λ2e 2. (2)两个向量平行的充要条件 a∥b a＝λb x1y2－x2y1＝O. (3)两个向量垂直的充要条件 a⊥b a·b＝O x1x2＋y1y2＝O. (4)线段的定比分点公式 设点P分有向线段 21PP 所成的比为λ，即 PP1 ＝λ 2PP ，则 OP＝ 1 1 1OP ＋ 1 1 2OP (线段的定比分点的向量公式)        .1 ,1 21 21     yyy xxx (线段定比分点的坐标公式) 当λ＝1时，得中点公式： OP＝ 2 1 （ 1OP ＋ 2OP ）或      .2 ,2 21 21 yyy xxx (5)平移公式 设点P(x，y)按向量a＝（ｈ，ｋ）平移后得到点 P′（x′，y′），则 PO ＝OP +a 或     . , kyy hxx 曲线y＝f（x）按向量a＝（ｈ，ｋ）平移后所得的曲线的函数解析式为： y－ｋ＝f（x－ｈ) (6)正、余弦定理 正弦定理： .2sinsinsin RC c B b A a  余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA， b2＝c2＋a2－2cacosB， c2＝a2＋b2－2abcosC. 师：下面我们通过例题分析来进一步熟悉向量知识的应用. (通过投影片§5.13.1 C给出本节例题) ［例 1］在四边形 ABCD中， AB·BC＝ BC·CD＝CD·DA＝DA· AB， 试证明四边形ABCD是矩形. 分析：要证明四边形 ABCD是矩形，可以先证四边形 ABCD为平行四边形，再证明其一 组邻边互相垂直.为此我们将从四边形的边的长度和位置两方面的关系来进行思考. 证明：设 AB＝a，BC＝b，CD＝c，DA＝d，则 ∵a＋b＋c＋d＝O ∴a＋b＝－（c＋d). 两边平方得 ｜a｜2＋2a·b＋｜b｜2＝｜c｜2＋2c·d＋｜d｜2， 又 a·b＝c·d ∴｜a｜2＋｜b｜2＝｜c｜2＋｜d｜2（1） 同理｜a｜＋｜d｜2＝｜b｜2＋｜c｜2（2） 由(1)(2)得｜a｜2＝｜c｜2，｜d｜2＝｜b｜2， ∴a＝c，d＝b， 即AB＝CD，BC＝DA ∴四边形ABCD是平行四边形. 于是 AB＝－CD，即a＝－c， 又 a·b＝b·c，故a·b＝b·（－a） ∴a·b＝O ∴ AB ⊥BC ∴四边形ABCD为矩形. 评述：向量具有二重性，一方面具有“形”的特点，另一方面又具有一套优良的运算 性质，因此，对于某些几何命题的抽象的证明，自然可以转化为向量的运算问题来解决， 要注意体会. ［例2］设坐标平面上有三点A、B、C，ｉ，j 分别是坐标平面上x轴，y轴正方向的单 位向量，若向量 AB＝ｉ－2j，BC＝ｉ＋ｍ j，那么是否存在实数ｍ，使A、B、C三点共 线. 分析：可以假设满足条件的ｍ存在，由A、B、C三点共线 AB∥BC  存在实数 λ，使 AB ＝λBC，从而建立方程来探索. 解法一：假设满足条件的ｍ存在，由A、B、C三点共线，即 AB∥BC， ∴存在实数λ，使 AB＝λBC， ｉ－2j＝λ（ｉ＋ｍ j），     2 1 m  ∴ｍ＝－2. ∴当ｍ＝－2时，A、B、C三点共线. 解法二：假设满足条件的ｍ存在，根据题意可知：ｉ＝（1，O），j＝（O，1） ∴ AB ＝（1，O）－2（O，1）＝（1，－2）， BC＝（1，O）＋ｍ（O，1）＝（1，ｍ）， 由A、B、C三点共线，即 AB ∥BC， 故1·ｍ－1·（－2）＝O解得ｍ＝－2. ∴当ｍ＝－2时，A、B、C三点共线. 评述： (1)共线向量的充要条件有两种不同的表示形式，但其本质是一样的，在运用 中各有特点，解题时可灵活选择. (2)本题是存在探索性问题，这类问题一般有两种思考方法，即假设存在法——当存在 时；假设否定法——当不存在时. Ⅲ.课堂练习 1.判断题 (1) AB＋BA＝O（√） (2)O AB＝O（×） （3） AB－ AC ＝BC（×) 2.选择题 已知a，b 为两个单位向量，下列四个命题中正确的是( ) A．a 与 b 相等 B．如果 a 与 b 平行，那么a 与b 相等 C.a·b＝1 D．a2＝b 2 答案：D 3.已知A、B、C是直线ｌ上的顺次三点，指出向量 AB、AC 、BA、CB中，哪些是方 向相同的向量. 答案： AB 与 AC 方向相同，BA与CB方向相同. 4.已知 AC 为 AB与 AD的和向量，且 AC ＝a，BD＝b，分别用a、b 表示 AB， AD . 解： AB＝ 2 1 （a－b）， AD＝ 2 1 （a＋b）. 5.已知 ABCDEF为正六边形，且 AB＝a， AE＝b，用 a，b 表示向量DE 、 AD、 BC、EF 、FA 、CD、 AC 、CE . 解：DE ＝－a， AB ＝a＋b， BC＝ 2 1 （a＋b）， EF ＝－ 2 1 （a＋b）， FA ＝ 2 1 （a－b），CD＝ 2 1 （b－a）， AC ＝ 2 3 a＋ 2 1 b，CE＝ 2 1 b－ 2 3 a. 6.已知点A(－3，－4)、B（5，－12） (1)求 AB的坐标及｜ AB｜； (2)若OC ＝OA＋OB，OD＝OA－OB，求OC 及OD的坐标； (3)求OA·OB . 解：(1) AB＝（8，－8），｜ AB｜＝8 2 (2) OC ＝（2，－16），OD＝（－8，8） (3) OA·OB＝33. Ⅳ.课时小结 师：通过本节学习，要求大家在了解向量知识网络结构基础上，进一步熟悉基本概念 及运算律，并能熟练重要定理、公式的应用，并加强数学应用意识，提高分析问题、解决问 题的能力. Ⅴ.课后作业 (一)课本P149复习参考题五 7，11，13，15，17，19. (二)1.预习内容 (1)三角形的有关性质； (2)向量数量积的性质及坐标表示. 2.预习提纲 (1)向量加、减法基本原则的适用前提； (2)向量数量积坐标表示的形式特点. ●板书设计 §5.13.1 小结与复习（一） 1.向量知识网络结构  3.向量基本概念 5.重要公式、定 理 2.本章重难点归纳  4.本章运算律、性质 （1）重点 （2）难点 ●备课资料 1.三点共线的证明 对于三点共线的证明，可以利用向量共线的充要条件证明，也可利用定比分点知识证 明.因为，定比分点问题中所涉及的三个点必然共线，而三个点共线时，必然构成定比分点.  ［例1］已知A（－1，－1）、B（1，3）、C（2，5），求证 A、B、C三点共线. 证明：设点B′（1，y）是 AC 的一个分点，且 CB BA  ＝λ，则1＝     1 21 解得λ＝2. ∴y＝ 21 521   ＝3. 即点B′与点B重合. ∵点B′在 AC 上，∴点B在 AC 上， ∴A、B、C三点共线. 2.利用正、余弦定理判断三角形形状 ［例2］根据下列条件，判断△ABC的形状 (1)acosA＝bcosB (2)sin2Α＋sin2B＝sin2C，且 c＝2acosB. 解：(1)∵acosA＝bcosB ∴ A B b a cos cos  ∴ ,cos cos sin2 sin2 A B BR AR  即 sinAcosA＝sinBcosB ∴sin2A＝sin2B ∴2A＝2B或 2A＝π－2B ∴A＝B或 A＋B＝ 2  ∴△ABC是等腰三角形或直角三角形. (2)∵sin2A＋sin2B＝sin2C ∴ ,)2()2()2( 222 R c R b R a  ∴a2＋b2＝c2 故△ABC是直角三角形，且C＝9O°， ∴cosB＝ c a ，代入c＝2acosB 得cosB＝ 2 2 ∴B＝45°，A＝45° 综上，△ABC是等腰直角三角形. 评注： (1)条件中有边有角，一般须化边为角或化角为边，题(1)也可以化角为边. (2)题(1)结论中用“或”，题(2)中用“且”结论也就不同，切不可混淆. ［例3］在△ABC中，若 a2＝b（b＋c），则A与B有何关系? 解：由正弦定理得sin2A＝sinB（sinB＋sinC） ∴sin2A－sin2B＝sinB·sinC， （sinA＋sinB）（sinA－sinB）＝sinBsinC， sin（A＋B）sin（A－B）＝sinB·sinC ∵sin（A＋B）＝sinC， ∴sin（A－B）＝sinB， ∴A－B＝B，A＝2B，或A－B＝π－B(舍去) 故A与B的关系是A＝2B. 3.利用正、余弦定理证明三角恒等式 ［例4］在△ABC中，求证 .tan tan 222 222 C B cba cba   证明：由余弦定理，知 a2＋b2－c2＝2abcosC， a2－b2＋c2＝2cacosB， ∴ .tan tan cossin cossin cos cos cos2 cos2 222 222 C B BC CB Bc Cb Bca Cab cba cba   评注：对于含有a2、b2、c2的形式，常用余弦定理化边为角. ［例5］在△ABC中，已知2sin2A＝3sin2B＋3sin2C ① cos2A＋3cosA＋3cos（B－C）＝1 ② 求：a∶b∶c. 解：由①得 2a2＝3b2＋3c2 ③ ∵cosA＝－cos（B＋C） 由②得 3cos（B－C）－3cos（B＋C） ＝1－cos2A＝2sin2A＝3sin2B＋3sin2C. ∴cos（B－C）－cos（B＋C）＝sin2B＋sin2C， 2sinBsinC＝sin2B＋sin2C 即（sinB－sinC）2＝O， ∴sinB＝sinC， ∴2RsinB＝2RsinC，∴b＝c代入③得a＝ 3 b. ∴a∶b∶c＝ 3 b∶b∶b＝ 3∶1∶1. ●教学后记