正弦定理、余弦定理教案
●教学目标
(一)知识目标
1.三角形形状的判断依据；
2.利用正、余弦定理进行边角互换.
(二)能力目标
1.进一步熟悉正、余弦定理内容；
2.能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化；
3.能够利用正、余弦定理判断三角形的形状；
4.能够利用正、余弦定理证明三角形中的三角恒等式.
(三)德育目标
通过正、余弦定理在边角互换时所发挥的桥梁作用来反映事物之间的内在联系；通过三
角恒等式的证明来反映事物外在形式可以相互转化而内在实质的不变性.
●教学重点
利用正、余弦定理进行边角互换.
●教学难点
1.利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向；
2.三角恒等式证明中结论与条件之间的内在联系的寻求.
●教学方法
启发引导式
1.启发学生在证明三角形问题或者三角恒等式时，要注意正弦定理、余弦定理的适用题
型与所证结论的联系，并注意特殊正、余弦关系的应用，比如互补角的正弦值相等，互补角
的余弦值互为相反数等；
2.引导学生总结三角恒等式的证明或者三角形形状的判断，重在发挥正、余弦定理的边
角互换作用.
●教具准备
投影仪、幻灯片
第一张：正、余弦定理内容(记作§5.9.3 A)
正弦定理： RC
c
B
b
A
a 2sinsinsin
余弦定理： ,cos2222 Abccba
ab
cbaC
ca
bacB
bc
acbA
Cabbac
Bcaacb
2cos
2cos
2cos
cos2
,cos2
222
222
222
222
222
第二张：例题1、2(记作§5.9.3 B)
［例1］已知△ABC，BＤ为B的平分线，求证：AB∶BC＝AＤ∶ＤC
［例2］在△ABC中，求证：a2sin2B＋b2sin2A＝2absinC
第三张：例3、例4(记作§5.9.3 C)
［例 3］已知 A、B、C 是△ABC 的三个内角，且满足(sinA＋sinB）2－sin2C＝
3sinAsinB求证：A＋B＝120°
［例4］在△ABC中，bcosA＝acosB试判断三角形的形状
●教学过程
Ⅰ.复习回顾
师：前面两节课，我们一起学习了正弦定理、余弦定理的内容，并且接触了利用正、余
弦定理解三角形的有关题型.下面，我们先来回顾一下正、余弦定理的内容(给出投影片
§5.9.3 A).从投影片大家可以看出，正弦定理、余弦定理实质上反映了三角形内的边角关
系，运用定理可以进行边与角之间的转换，这一节，我们将通过例题分析来学习正、余弦定
理的边角转换功能在证明三角恒等式及判断三角形形状时的应用.
Ⅱ.讲授新课
师：下面，我们来看投影片上的例题.(给出投影片§5.9.3
B).
［例 1］分析：前面大家所接触的解三角形问题是在一个三
角形内研究问题，而 B的平分线BD将△ABC分成了两个三角形：
△ABD 与△CBD，故要证结论成立，可证明它的等价形式：
AB∶AD＝BC∶DC，从而把问题转化到两个三角形内，而在三角形
内边的比等于所对角的正弦值的比，故可利用正弦定理将所证继续转化为
DBC
DC
BDC
BC
ABD
AD
ABD
AB
sinsin,sinsin ，再根据相等角正弦值相等，互补角正弦值也
相等即可证明结论.
证明：在△ABD内，利用正弦定理得：
ABD
ADB
AD
AB
ABD
AD
ADB
AB
sin
sin
sinsin 即
在△BCD内，利用正弦定理得：
.sin
sin,sinsin DBC
BDC
DC
BC
DBC
DC
BDC
BC 即
∵BD是 B的平分线.
∴∠ABD＝∠DBC ∴sinABD＝sinDBC.
∵∠ADB＋∠BDC＝180°
∴sinADB＝sin（180°－∠BDC）＝sinBDC
∴ CD
BC
DBC
BDC
ABD
ADB
AD
AB sin
sin
sin
sin
∴ DC
AD
BC
AB
评述：此题可以启发学生利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，并且注意互补角
的正弦值相等这一特殊关系式的应用.
［例2］分析：此题所证结论包含关于△ABC的边角关系，证明时可以考虑两种途径：
一是把角的关系通过正弦定理转化为边的关系，若是余弦形式则通过余弦定理；二是把边
的关系转化为角的关系，一般是通过正弦定理.
另外，此题要求学生熟悉相关的三角函数的有关公式，如 sin2B＝2sinB·cosB等，以
便在化为角的关系时进行三角函数式的恒等变形.
证明一： (化为三角函数)
a2sin2B＋b2sin2A
＝（2Ｒ sinA）2·2sinB·cosB＋（2Ｒ sinB）2·2sinA·cosA
＝8Ｒ 2sinA·sinB（sinAcosB＋cosAsinB)
＝8Ｒ 2sinAsinBsinC
＝2·2Ｒ sinA·2Ｒ sinB·sinC
＝2absinC
所以原式得证.
证明二： (化为边的式子)
左边＝a2·2sinBcosB＋b2·2sinA·cosA
＝a2· bc
acb
R
abac
bca
R
b
22
2
22
2 2222222
＝ )(2
222222 acbbcaRc
ab
＝ CabR
cabcRC
ab sin22222
2
评述：由边向角转化，通常利用正弦定理的变形式：a＝2Ｒ sinA，b＝2Ｒ sinB，c＝
2Ｒ sinC，在转化为角的关系式后，要注意三角函数公式的运用，在此题用到了正弦二倍
角公式 sin2A＝2sinA·cosA，正弦两角和公式 sin（A＋B）＝sinA·cosB＋cosA·sinB；
由角向边转化，要结合正弦定理变形式以及余弦定理形式二.
三角形的有关证明问题，主要围绕三角形的边和角的三角函数展开，从某种意义上来
看，这类问题就是有了目标的含边和角的式子的化简问题.
（给出幻灯片§5.9.3 C）
［例3］分析：要证A＋B＝120°，由于A＋B＋C＝180°，只要证明C＝60°，而已知
条件为三角函数关系，故应考虑向三角函数的转化，又在0°～180°之间，余弦值所对应
角惟一，故可证明 cosC＝ 2
1 ，而由余弦定理 cosC＝ ab
cba
2
222 ，所以应考虑把已知的角
的关系式转化为边的关系.
证明：由(sinA＋sinB）2－sin2C＝3sinA·sinB
可得sin2A＋sin2B－sin2C＝sinA·sinB
又∵sinA＝ R
a
2 ，sinB＝ R
b
2 ，sinC＝ R
c
2 ，
∴ R
b
R
a
R
c
R
b
R
a
22444 2
2
2
2
2
2
整理得a2＋b2－c2＝ab
∴cosC＝ 2
1
2
222
ab
cba
又 0°＜C＜180° ∴C＝60°
∴A＋B＝180°－C＝120°
评述： (1)有关三角形内角的证明，选择余弦值与正弦值相比较，要省去取舍的麻烦.
但注意在根据三角函数值求角时，应先确定角的范围；
(2)在将已知条件中角的关系转化为边的关系时，运用了正弦定理的变形式：a＝
2R·sinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，这一转化技巧，要求学生熟练掌握.
［例4］分析：三角形形状的判断，可以根据角的关系，也可根据边的关系，所以在
已知条件的运用上，可以考虑两种途径：将边转化为角，将角转化为边，下面，我们从这
两个角度进行分析.
解法一：利用余弦定理将角化为边.
∵bcosA＝acosB
∴b· ac
bcaabc
acb
22
222222
∴b2＋c2－a2＝a2＋c2－b2
∴a2＝b2
∴a＝b
故此三角形是等腰三角形.
解法二：利用正弦定理将边转化为角.
∵bcosA＝acosB
又 b＝2Ｒ sinB，a＝2Ｒ sinA
∴2Ｒ sinBcosA＝2Ｒ sinAcosB
∴sinAcosB－cosAsinB＝0
∴sin（A－B）＝0
∵0＜A，B＜π，∴－π＜A－B＜π
∴A－B＝0 即 A＝B
故此三角形是等腰三角形.
评述： (1)在判定三角形形状时，一般考虑两个方向进行变形，一个方向是边，走代
数变形之路，通常是正、余弦定理结合使用；另一个方向是角，走三角变形之路.通常是运
用正弦定理.要求学生要注重边角转化的桥梁——正、余弦定理；
(2)解法二中用到了三角函数中两角差的正弦公式，但应注意在根据三角函数值求角时，
一定要先确定角的范围.另外，也可运用同角三角函数的商数关系，在等式 sinBcosA＝
sinAcosB两端同除以sinAsinB得 cotA＝cotB，再由 0＜A，B＜π，而得A＝B.
师：为巩固本节所学的解题方法，下面我们进行课堂练习.
Ⅲ.课堂练习
1.在△ABC中，证明下列各式：
（1）（a2－b2－c2）tanA＋（a2－b2＋c2）tanB＝0
(2) .112cos2cos 2222 bab
B
a
A
证明：(1)左边＝（a2－b2－c2） B
BcbaA
A
cos
sin)(cos
sin 222
右边
0)11(
)(
2
2
2
2)(
2
2)(
222
222
222
222
222
222
222
222
R
abc
bca
bca
acb
acb
R
abc
bca
ac
R
bcbaacb
bc
R
acba
故原命题得证.
右边
左边
222222
22
2
22
2
22
2
2
2
2
11
)2(
2
)2(
211
sin)2(
sin2
sin)2(
sin2)11(
sin21sin21)2(
baRRba
BR
B
AR
A
ba
b
B
a
A
故原命题得证.
评述：（1）在(1)题证明时应注意两点：一是切化弦的思路，二是结合正、余弦定理将
角的关系转化为边的关系；
（2）(2)题证明过程中用到了余弦二倍角的公式，而此公式有三种形式 cos2A＝cos2A
－sin2A＝2cos2A－1＝1－2sin2A，由于考虑到等式右端为边的关系，故选用第三种形式，
在转化为边的关系时较为简便.
2.在△ABC中，已知sinB·sinC＝cos2 2
A ，试判断此三角形的类型.
解：∵sinB·sinC＝cos2 2
A
∴sinB·sinC＝ 2
cos1 A
∴2sinB·sinC＝1＋cos［180°－（B＋C）］
将cos（B＋C）＝cosBcosC－sinBsinC代入上式得
cosBcosC＋sinBsinC＝1
∴cos（B－C）＝1
又 0＜B，C＜π，∴－π＜B－C＜π
∴B－C＝0 ∴B＝C
故此三角形是等腰三角形.
评述： (1)此题在证明过程中，要用到余弦二倍角公式 cosA＝2cos2 2
A －1的逆用，
要求学生注意.
(2)由于已知条件就是三角函数关系式，故无需向边的关系转化，而是进行三角函数式
的恒等变形.
Ⅳ.课时小结
师：通过本节学习，我们熟悉了正、余弦定理在进行边角关系转换时的桥梁作用，并利
用正、余弦定理对三角恒等式进行证明以及对三角形形状进行判断.其中，要求大家重点体
会正、余弦定理的边角转换功能.
Ⅴ.课后作业
(一)补充作业
1.在△ABC中，已知 )sin(
)sin(
sin
sin
CB
BA
C
A
，求证：a2，b2，c2成等差数列.
证明：由已知得sin（B＋C）sin（B－C）＝sin（A＋B）·sin（A－B）
cos2B－cos2C＝cos2A－cos2B
2cos2B＝cos2A＋cos2C
2
2cos1
2
2cos1
2
2cos12 BAB
∴2sin2B＝sin2A＋sin2C
由正弦定理可得2b2＝a2＋c2
即a2，b2，c2成等差数列.
2.在△ABC中，A＝30°，cosB＝2sinB－ 3 sinC.
(1)求证：△ABC为等腰三角形；(提示 B＝C＝75°)
(2)设 D为△ABC外接圆的直径BE与AC的交点，且AB＝2，求AD∶DC的值.
答案：（1）略 （2）1∶ 3
(二)1.预习内容
课本 5.9 正弦定理、余弦定理
2.预习提纲
(1)复习正、余弦定理内容
(2)总结正、余弦定理适用题型
●板书设计
§5.9.3 正弦定理、余弦定理(三)
一、三角形问题证明思路 二、三角形形状判定依据 三、学生练习
1.向边转化 1.等腰三角形：a＝b或A＝B 四、补充作
业
利用正、余弦定理 2.直角三角形：a2＋b2＝c2
2.向角转化 或C＝90°
利用正弦定理 3.钝角三角形：C＞90°
●备课资料
1.正余弦定理的边角互换功能
对于正、余弦定理，同学们已经开始熟悉，在解三角形的问题中常会用到它.其实，在
涉及到三角形的其他问题中，也常会用到它们.两个定理的特殊功能是边角互换，即利用它
们可以把边的关系转化为角的关系，也可以把角的关系转化为边的关系，从而使许多问题
得以解决.
［例1］已知a、b为△ABC的边，A、B分别是a、b的对角，且 3
2
sin
sin B
A ，求 B
BA 的
值.
解：∵ 2
3
sin
sin,sin
sin,sinsin B
A
b
a
B
A
B
b
A
a 又 (这是角的关系)，∴ 2
3b
a (这是
边的关系).于是，由合比定理得 .2
5
2
23 b
ba
［例2］已知△ABC中，三边a、b、c所对的角分别是A、B、C，且a、b、c成等差数列.
求证：sinA＋sinC＝2sinB
证明：∵a、b、c成等差数列，
∴a＋c＝2b(这是边的关系)①
又 B
AbaC
c
B
b
A
a
sin
sin,sinsinsin ②
B
Cbc sin
sin ③
将②、③代入①，得 bB
Cb
B
Ab 2sin
sin
sin
sin 整理得sinA＋sinC＝2sinB(这是角的关系).
2.正、余弦定理的巧用
某些三角习题的化简和求解，若能巧用正、余弦定理，则可避免许多繁杂的运算，从而
使问题较轻松地获得解决，现举例说明如下：
［例3］求sin220°＋cos280°＋ 3 sin20°cos80°的值.
解：原式＝sin220°＋sin210°－2sin20°sin10°cos150°
∵20°＋10°＋150°＝180°，
∴20°、10°、150°可看作一个三角形的三个内角.
设这三个内角所对的边依次是 a、b、c，由余弦定理得：a2＋b2－2abcos150°＝
c2（※）
而由正弦定理知：a＝2Ｒ sin20°，b＝2Ｒ sin10°，c＝2Ｒ sin150°，代入(※)式
得：
sin220°＋sin210°－2sin20°sin10°cos150°＝sin2150°＝ 4
1
∴原式＝ 4
1 .
●教学后记
/1
