映射的概念教案
教学目的
使学生能正确理解和叙述映射的定义，并能运用定义去判断
某些对应是否是映射；使学生的观察能力、判断能力和论述能力都
得到相应的提高．
教学过程
一、复习和纠错
教师简要复习前一课的内容和指出前一节课外作业中存在的
问题．[及时纠正学生作业中的典型错误和含混的概念，从整个教
学来说，犹如对正在施工中的高楼，随时注意质量事故，及时消
除各类隐患一样，对提高教学质量十分有益．而且由于解决的是
学生中存在的实际问题，所以深受学生的欢迎．]
二、进行新课
师：前几节课我们学习了集合的概念；集合的表示，子集、交
集、并集、补集的意义及有关性质．在初中，我们还学习过对应．
两个集合之间．按照某种法则可以建立元素之间的对应关系．现
在，我们要学习一种特殊的对应——映射．(板书课题．)
什么叫映射呢？(环视学生．)
[简要回顾学过的知识，直接引出课题，提出问题，使学生引
起注意，从而起到组织教学的作用．]
师：我们来看几种对应．
(挂出预先画好的图1．)
师：在图1(1)中．集合A的元素是9、8、4、1；集合B的元素
是3、－3、2、－1，对应法则是“开平方”．即：如果A中的元素x
开平方的结果在B中有，那么B中的那个元素就和A中的x对应．
例如：A中的9开平方的结果是3或－3，那么B中的3和A中的9
对应，B中的－3也和A中的9对应；A中的8开平方的结果在B
中没有，那么B中就没有元素和A中的8对应；A中的4开平方的
结果是2或－2，但B中只有－2，那么B中的－2就与A中的4对
应．类似地，A中的1，在B中有－1和它对应．同学们观察一下，
其他几个对应关系是怎样的？
(略停片刻，让学生思考，然后指定学生回答．)
[例子要交代清楚，教师举一，学生反三，让学生学会类比，
提高表达能力．]
生：略．
师：在这些对应中，哪些对应具有集合A中的任何一个元素
在集合B中都有唯一的元素和它对应的性质？
(学生观察、思考，教师静待．)
[启发、引导学生，要把注意力集中在理解概念的本质属性上．
对关键问题，要舍得留时间让学生思考．教师提出问题后的等待，
是学生思维高度集中、认真思考的时刻，是提高学生观察、分析、判
断等能力的极好时机．]
生(中等偏下)：图1(4)(5)的两个对应，集合A中的元素在集
合B中有唯一的元素和它对应．
师：同学们认为对吗？注意，我说的是对于集合A中的任何
一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应．
(学生开始窃窃私语，小声议论，人数渐多，开始有人举手，
时机成熟，再指定一个中等水平的学生发言．)
生：第(5)个对应，集合A中任何一个元素在集合B中都有唯
一的元素和它对应．第(4)个不是这样，因为 A中的30°、120°在
B中没有元素和它们对应．
师：对．还有具备这种性质的对应吗？
生：第(2)个对应也具备．因为 A中的3对应9，是唯一的，
－3对应9也是唯一的，A中的2和－1分别对应B中的4和1．第
(3)个对应也有此性质．
师：第(1)个对应有此性质吗？
生：没有．因为 B中有两个元素3、－3和A中的9对应，而且
B中没有元素和A中的8对应．
师：第(6)个对应呢？
生：(迟疑一下)A中那些“点、点”的元素不知道在B中是否
有唯一的元素和它对应．
师：请坐下．对于这种含省略号的集合对应，应如何判断？
是否仅仅看箭头号？
生：(豁然开朗)第(6)个对应也有此性质．因为由文字说明知
道：集合A是整数集，集合B是数轴上的整数点集，对应法则是
整数对应整数加 2的点，所以A中任何一个元素，在B中都有唯
一的元素和它对应．
[教师恰到好处的启发，使学生顿开茅塞，思维之流一下子活
跃起来，兴趣也油然而生．]
师：对．在第(1)个对应中，集合A的元素9，在B中有两个
元素和它对应；A中的元素8，在B中没有元素和它对应．在第
(4)个对应中，集合A的元素30°、120°，在B中没有元素和它们
对应，第(1)、(4)两个对应都不具有“A中任何一个元素，在B中
都有唯一的元素和它对应”的性质，而第(2)、(3)、(5)、(6)四个对
应都有此性质，我们把有此性质的对应叫做映射．
[教师在学生讨论的基础上及时小结，可顺利地过渡到映射的
定义．]
师：现在看课本(指出页数和行数)，这里映射的定义是：一
般地，设 A、B是两个集合，如果按照某种对应法则 f，对于集合A
中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样
的对应叫做从集合A到集合B的映射，记作
f：A→B．
根据定义，如果给定两个集合A、B和由A到B的对应法则 f，
我们如何判断这个对应是否是映射？
生：如果集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的
元素和它对应，那么这个对应就是映射，否则就不是．
师：很好．定义中的“唯一”是什么意思？
(停顿一下，扫视学生．)
“唯一”包括两层意思：一是必有一个；二是只有一个．也
就是有且只有一个的意思．
[教师有时可以在提出问题后自行回答．提出问题旨在引起注
意；自行回答旨在避免答问太琐碎．]
师：由定义可以判断上面的六个对应哪些是映射？哪些不是？
为什么？
生(差生)：(2)、(3)、(5)、(6)四个对应是映射．因为 A中的任
何一个元素，按对应法则，在B中都有唯一的元素和它对应．而
(1)和(4)两个对应不是映射．因为 A中某些元素，在B中对应的
元素不是唯一的．
师：很好．如果给定一个集合A到集合B的映射，那么A中
的元素 a对应的B中的元素 b叫做a的像，a叫做b的原像．如上
面的第(2)个对应，集合A的元素3的像是9，－3的像也是9，9
的原像是3或－3；B中的8没有原像．同学们考虑一下，第(2)个
对应，集合A的元素2、－1的像各是什么？集合B中元素4、1的原
像各是什么？第(3)个对应，A的元素的像各是什么？B中元素的
原像各是什么？
生：略．
师：关于映射，我们还要注意下面几点：
(1)映射中的集合A、B可以是数集，也可以是点集或其他集合
如上面的六个对应中，(2)是数集，(3)是量集与数集，(6)是数集
与点集，而(5)是学生集和名次集．
(2)映射包括集合A、B以及A到B的对应法则 f，这三者构成
映射这一整体，三者缺一不可．
(3)像是对原像而言的，原像也是对像而言的．如上面的映射
(2)中，不能简单地说成 9是像，3、－3是原像，必须说谁的像，
谁的原像．
(4)原像和像是不能互换的．互换后就不是原来的对应了，而
且把一个映射的原像与像互换后所得到的新对应不一定是映射．
如上面的(2)是映射，(1)却不是映射．
(5)对于一个从集合A到集合B的映射来说，A中的每一个元
素必有唯一的像，但B中的每一个元素却不一定都有原像，若有，
也不一定只有一个．即A到B的对应中可以有多对一的对应，如
上面的(2)、(3)；这个对应也可以是一对一的对应，如上面的(5)、
(6)．但在对应中不可能有一对多或一对无的对应．若有一对多或
一对无，则此对应必不是映射，如上面的(1)、(4)．
[关于概念的教学，往往有些词句要进一步阐述其涵义．有些
由定义得出的判别方法，要给以明确而肯定的结论．这对于提高
学生的观察能力、判断能力、运用能力，提高对概念的理解程度，
都是极有好处的．]
师：现在做下面的练习，其中集合A按小黑板上的写法，按
题意画出对应，并指出哪些是映射，哪些不是，为什么？
画图表示从集合A到集合B的对应(集合A各取四个元素)．
已知：
(1)A=N，B=N，对应法则是“加倍”(即“乘 2”)；
(3)A={x|x∈R，且x≠0}，B=R，对应法则是“取倒数”；
(4)A={x|x∈R，且x＜1}，B={ |0°＜ ＜180°}，对应法
则是“求正弦值为 x的三角形内角 ”．
(挂出小黑板，让学生看清后指定四名学生各板演一个小题．
板演后各人依次在讲台上说明是否映射的理由．)
答案：其中(1)、(2)、(3)是映射，(4)不是映射．理由略．
[要求学生做的题，教师自己应做一做，一来可以熟悉练习题
的内容，以便心中有数，明确目的；二来可以在上述的基础上，
为更好地达到本课的目的，结合本班学生的实际，对原题进行删
补修改，如上面的练习就是把课本练习中的两题结合起来的，并
增加了“哪些不是，为什么”的要求；三来可以进行作业指导，
如上面给出A的集合，既统一了全体学生所用的数字，又指导了
学生如何依题意写这种集合．]
三、小结和作业
师：今天学的是映射的概念，它的定义是什么？
(指定一个学生回答，略．)
师：课后复习课文的有关内容，并考虑以下几个问题：
(1)映射是对应，对吗？为什么？
(2)对应是映射，对吗？为什么？
(3)对于映射 f：A→B，如果A、B都是有限集，那么原像与像
的个数有什么关系？为什么？
布置作业(略)．
[小结时，由学生叙述定义，一方面突出了本节课的主题，另
一方面增强了学生对它的记忆和锻炼了学生的表达能力．为加深
理解和发展思维，提出了三个问题让学生课后思考，通过钻研使
他们对概念的理解进一步深化．前两个问题反映了映射与对应的关系，
后一个问题可以由像的唯一性作出结论．这三个问题所用到的知识正是
本节课的重点所在．]
教案说明
(1)概念教学是中学数学中至关重要的一项内容，绝不能因其易而
轻视，也不能因其难而回避．概念教学必须面向全体学生．就学生而言，
学好概念是学好数学最重要的一环．差生之所以差，原因是复杂的，但
概念不清往往是最直接的原因，因此就教师而言，抓好概念教学是提高
教学质量的带有根本性意义的一环．
(2)对每个概念都要深刻地揭示它的内涵和外延．概念是从一些具
有相同属性的事物或现象中抽象出来的，这些本质属性就是这一概念的
内涵，满足这些内涵的全部对象就是这个概念的外延．因此让学生理解
概念的内涵和外延是加强概念教学的首要条件．如果有些概念的外延不
能全部列举，也应该把各种主要类型作为模型让学生有所认识．
(3)概念是抽象的，因此一定要注意与实例结合．由具体到抽象是
人类认识的规律．正因为概念是抽象的，所以学生对它的认识不可能一
下子就十分深刻．因此，进行概念教学时，在课内要适当反复，在课外
也要适当反复，在以后的教学中还应适当安排反复．反复不完全是简单
的重复，而是通过复述、答问、举例、解题、综合运用等方式，使这些概念
再现——在更高层次上的再现，使学生对概念的理解逐步深化．
(4)注意信息反馈．它能及时发现由于各种原因造成的教学上的失
误，以便及时加以补救．反馈信息可以通过提问、练习、作业、座谈、个别
谈话等方式来实现．对学生在解题中发生的错误，教师要善于透过现象
看本质，从中发现学生产生错误的原因．如果是由于对某个概念不清所
致，那么就应从概念上帮助学生解决问题．
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