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平行四边形的识别的进一步探索 我们知道，两组对边分别平行，或者一组对边平行且相等，或者两组对边分别相等， 或者两组对角分别相等，或者对角线互相平分的四边形是平行四边形。那么，一组对边相等， 一组对角相等的四边形是不是平行四边形呢？下面，我们就此进行探索。 以下，我们总设在四边形ABCD中，∠A=∠C，AD=BC。 1．若∠A=∠C=Rt∠ 连结 BD A D 在 Rt△ABD和 Rt△CDB中 BD=DB AD=BC ∴Rt△ABD≌Rt△CDB (HL) ∴∠1=∠2 B C ∴AD∥BC 而 已知AD=BC ∴四边形ABCD是平行四边形。 2．若∠A=∠C﹥Rt∠ 连结 BD，分别过D、B向AB、CD作垂线DE、BF；E、F为垂足 ∵∠1=∠2 E ∴∠3=∠4 而 DE⊥BE、BF⊥DF ∴∠E=∠F=Rt∠ A D 又 AD=BC ∴△ADE≌△CBF （AAS） ∴DE=BF 5 在 Rt△BDE和 Rt△DBF中 B C DE=BF BD=DB ∴Rt△BDE≌Rt△DBF （HL） F ∴∠5=∠6 由三角形内角和定理。得 ∠7=∠8 ∴AD∥BC 而 已知AD=BC ∴四边形ABCD是平行四边形 3．若∠A=∠C﹤Rt∠ 先作等腰△DAG，使DA=DG。作DH⊥AG，H为垂足，在AH上取点 B（不与A、H重 合）。使 BG﹤DG连结DB，并作DB的中垂线 EF ∵BG﹤DG 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 ∴点G不在 EF上 作点G关于 EF的对称点 C，连结 BC，DC。 （1）∵△CDB与△GBD关于 EF对称 ∴∠G=∠C DG=BC 而∠A=∠G DA=DG D ∴∠A=∠C，DA=BC 另外 BG﹤DG ∴∠GDB﹤∠GBD C ∴∠ABC=∠ABD+∠DBC E =∠ABD+∠GDB ﹤∠ABD+∠GBD F =180° A 即∠ABC﹤180° B H G 故四边形ABCD是满足条件的四边形 即一组对角相等（∠A=∠C ） 一组对边相等（ DA=BC ） （2）∵B在AH上，且不与A、H重合 ∴AB﹤BG 而 BG=DC ∴AB﹤DC 故四边形ABCD不是平行四边形。 综上所述，一组对边相等，一组对角相等的四边形不一定是平行四边形