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抽屉原理和六人集会问题 　　“任意367个人中，必有生日相同的人。” 　　“从任意5双手套中任取6只，其中至少有2只恰为一双手套。” 　　“从数1，2，...，10中任取6个数，其中至少有2个数为奇偶性不同。” 　　... ... 　　大家都会认为上面所述结论是正确的。这些结论是依据什么原理得出的呢？这个 原理叫做抽屉原理。它的内容可以用形象的语言表述为： 　　“把m个东西任意分放进n个空抽屉里（m>n），那么一定有一个抽屉中放进了 至少2个东西。” 　　在上面的第一个结论中，由于一年最多有366天，因此在367人中至少有2人出 生在同月同日。这相当于把367个东西放入 366个抽屉，至少有 2个东西在同一抽屉 里。在第二个结论中，不妨想象将5双手套分别编号，即号码为1，2，...，5的手套 各有两只，同号的两只是一双。任取6只手套，它们的编号至多有5种，因此其中至 少有两只的号码相同。这相当于把6个东西放入5个抽屉，至少有2个东西在同一抽 屉里。 　　抽屉原理的一种更一般的表述为： 　“把多于kn个东西任意分放进n个空抽屉（k是正整数），那么一定有一个抽屉 中放进了至少k+1个东西。” 　　利用上述原理容易证明：“任意7个整数中，至少有3个数的两两之差是3的倍 数。”因为任一整数除以3时余数只有0、1、2三种可能，所以7个整数中至少有3个 数除以3所得余数相同，即它们两两之差是3的倍数。 　　如果问题所讨论的对象有无限多个，抽屉原理还有另一种表述： 　　“把无限多个东西任意分放进n个空抽屉（n是自然数），那么一定有一个抽屉 中放进了无限多个东西。” 　　抽屉原理的内容简明朴素，易于接受，它在数学问题中有重要的作用。许多有关 存在性的证明都可用它来解决。 　　1958年 6/7月号的《美国数学月刊》上有这样一道题目： 　　“证明在任意6个人的集会上，或者有3个人以前彼此相识，或者有三个人以前 彼此不相识。” 　　这个问题可以用如下方法简单明了地证出： 　　在平面上用6个点A、B、C、D、E、F分别代表参加集会的任意6个人。如果两人以前 彼此认识，那么就在代表他们的两点间连成一条红线；否则连一条蓝线。考虑A点与 其余各点间的5条连线AB，AC，...，AF，它们的颜色不超过2种。根据抽屉原理可 知其中至少有3条连线同色，不妨设AB，AC，AD同为红色。如果BC，BD ，CD 3条连 线中有一条（不妨设为BC）也为红色，那么三角形ABC即一个红色三角形，A、B、C代 表的3个人以前彼此相识：如果BC、BD、CD 3条连线全为蓝色，那么三角形BCD即一 个蓝色三角形，B、C、D代表的3个人以前彼此不相识。不论哪种情形发生，都符合问 题的结论。 图1 　　六人集会问题是组合数学中著名的拉姆塞定理的一个最简单的特例，这个简单 问题的证明思想可用来得出另外一些深入的结论。这些结论构成了组合数学中的重要 内容──-拉姆塞理论。从六人集会问题的证明中，我们又一次看到了抽屉原理的应 用。