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《倍数与因数》课堂详案 深圳市南山区卓雅小学 冼润华 【课前慎思】 《倍数与因数》是小学数学五年级上册第三单元的起始课，这两个概念是在已经学习 了整数自然数和乘除法的基础上进行的学习，而倍数与因数的概念是学习约分、通分以及 分数运算的基础。“倍数与因数”还是后续建立质数与合数，公倍数与公因数，约分与通 分，最大公因数与最小公倍数等概念系统的基础，是数论中的核心概念。 因此，理解与掌握倍数与因数这两个概念的本质属性是这一节课的最重要的学习目标。 采用概念性变式来帮助学生理解“倍数与因数”的概念有助于后续概念的迁移与学习。概 念之间是有联系和区别的，可以借助双气泡图来呈现“倍数与因数”两个概念的对比，帮 助学生进一步建构“倍数与因数”的概念。 【教学目标】 知识目标 结合具体情境，认识自然数和整数，联系乘法、除法认识倍数和因数。 技能目标 探索找某个数的倍数的方法，能在 1-100的自然数中，找出 10以内某个自然数的所有倍 数。 思维目标 借助变式教学与双气泡图，培养学生的分析能力。 【课堂实录】 本课采用活动教学，教学过程如下： 活动一：初步认识倍数和因数 师：关于倍数和因数，你知道什么？ 生：在一个乘法算式里有倍数吧。 师：现在还说不太清，但你隐约感觉它们和乘法或者除法有关。这节课咱们就来学习 “倍数和因数”，请看大屏幕。 课件出示教材第 31页情境图， 图 1 教材 31页情境图 引导学生列出两个乘法算式： 9×4=36（人） 5×7=35（人） 师：9×4=36，我们可以说 36是 9和 4的倍数，9和 4是 36的因数。（板书：倍 数与因数）根据 5×7=35，你能说出哪个数是哪个数的倍数，哪个数是哪个数的因数吗？ 学生口述，屏幕出现：35是 5和 7的倍数，5和 7是 35的因数。 师：智慧老人有话要对我们说，我们一起读读他的话：“我们只在自然数（0除外） 范围内研究倍数和因数。”智慧老人的话是很有分量的，咱们得好好琢磨琢磨。和你的同 桌讨论一下什么是“自然数”吧。 生 1：是正的数，还要是整数。 生 2：自然数是指 0,1,2,3,4,5,6…这些数就是自然数。 师：是的，0,1,2,3,4,5,6…这些数就是自然数。 生 3：为什么要说“0除外”？ 师：你很善于思考问题，这是我正准备要问的。 生 1: 0乘以任何数都是 0呀，0除以任何不为 0的数都是 0。 生 2：那这样看 0是任何数的倍数，也是任何数的因数了，这样就乱套了，所以 0不 算。 师：说得真好，很有道理。是啊，0乘以任何数都是 0呀，0除以任何不为 0的数都 是 0，所以我们要把 0剔除出去。 活动二：进一步认识倍数与因数 1、练习 根据算式说一说哪个数是哪个数的倍数，哪个数是哪个数的因数？ 25×3=75 100÷20=5 学生说，屏幕出示：75是 25和 3的倍数，25和 3是 75的因数； 100是 20和 5的倍数，20和 5是 100的因数。 （设计意图：以这两个乘法算式为例说明倍数和因数的含义，即 75是 25的倍数， 75也是 3的倍数，25是 75的因数，3也是 75的因数。教材上另一个算式是 20×5=100，我把这个算式用除法的形式出示，让孩子在除法算式中辨析因数和倍数的关 系，引导学生进一步体会倍数与因数的含义。）2、生生互动 让学生同桌间互相写算式，再说一说。算式可以是乘法算式，也可以是除法算式。 师：刚才老师发现了一个有趣的算式，请书写着说一说。 生：（出示 1×3=3）1和 3是 3的因数，3是 1和 3的倍数。 师：有点意思，同学们还能写出这样的算式吗？ 生：（板书 25×1=25）25是 1和 25的倍数，1和 25是 25的因数。 师：（板书 10÷1=10）谁来说说这个算式？ 生：10是 1和 10的倍数，1和 10是 10的因数。 师：看了这么些算式，你有什么想说的吗？ 生 1：1是所有数的因数，自己也是自己的因数。 生 2：1的因数只有 1。 生 3：一个数最小的因数是 1，最大的因数是它自己。 师：总结的太好了！你们身上有数学家的潜质。（屏幕出示：一个数最小的因数是1，最大的因数是它本身。1的因数是 1。）大家一起读一读吧。 活动三：概念性变式，理解倍数与因数的本质属性 判断下面三个说法是否正确：A、 7是因数。 B、 100是倍数。 C、 在算式 2.5×0.4=1中，2.5是 1的因数，1是 0.4的倍数。 规则说明：四人小组讨论，三个同学上来抽卡片，抽到哪题说哪题。 抽 A的学生说：是错的，要说 7是哪个数的因数。 抽 B的学生说：不对，要讲清楚 100是哪个数的倍数。 师：说的很对，（屏幕出示：倍数与因数是互相依存的关系，不能说某个数是因数， 某个数是倍数，应该说哪个数是哪个数的倍数，哪个数是哪个数的因数。如：7是 14的因 数，100是 5的倍数。）我们一起读一读。 抽到C的学生说：错的，智慧老人说了，我们只在自然数（0除外）的范围内研究倍 数和因数，这里有小数，所以不对。 师：真不错！（屏幕出示：我们只在自然数（0除外）的范围内研究倍数和因数，不 考虑小数。） 活动四：找倍数，培养学生的有序思维 1、找倍数 下面哪些数是 7的倍数？与同伴交流你的想法。 7 14 17 25 77 生 1: 7,14,77这三个数是 7的倍数。 师：我刚读完题目，你就全找出来了，你找得这么快，是不是有法宝？给大家讲讲吧。 （屏幕显示：说一说你是怎样找 7的倍数的？） 生 2：我用乘法口诀找的，一七得七，二七十四，……七九六十三， 7×10=70，7×11=77。 师：这个办法真不错，其他同学还有别的办法补充吗？ 生 3：还可以用除法，拿这 5个数分别除以 7，没有余数的就是 7的倍数，有余数的 就不是 7的倍数。 2、 找 100以内 8的倍数： 写出 100以内 8的倍数。 生 1：我是通过乘法找 8的倍数的，1×8=8,2×8=16,3×8=24,4×8=32， 5×8=40,6×8=48,7×8=56,8×8=64,9×8=72,10×8=80，11×8=88, 12×8=96。（屏幕显示：8,16,24,32,40,48,56,64,72,80,88,96） 师：这样的方法真好，全部都找到了，不会重复也不会遗漏。这种有序思考的习惯真 好！我想问问大家，8最小的倍数是几？ 生 2：是 8呀，一八得八。 师：那 5最小的倍数是几？ 全体学生：是 5。 师：17最小的倍数是几？ 全体学生：是 17。 师：那要找某一个数的最小的倍数，怎么找呢？ 生 3：就是它自己。 师：你们很会总结，一个数最小的倍数就是它自己本身。（屏幕显示：一个数最小的 倍数就是它本身。）如果我们突破 100的限制继续找 8的倍数，能不能找？ 生 4：可以的，有很多，104,112,120,128,136……找不完的。 师：那 8最大的倍数是几？ 生 5：有无数个 8的倍数，找不到 8最大的倍数. 师：一个数的倍数的个数是无限，没有最大的倍数。（屏幕显示：没有最大的倍 数。） 活动五：小结，双气泡图呈现倍数与因数的联系与区别 师：倍数与因数有什么相同点？不同点是什么？画一个双气泡图。 生：我们组是这样想的，倍数和因数是相互依存的不能独立存在，不能说谁是倍数， 谁是因数；只在自然数（0除外）范围内研究倍数和因数，小数不算的；一个数最小的因 数是 1，最大的因数是它本身；一个数最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 图 2 双气泡图区分“倍数与因数” 【教学反思】： 一、活动教学有序而有效。 这节课采用活动教学，把知识点融入到每一个活动中，每个活动都有相应学习的任务， 活动环环相扣，层层推进，有效突破重难点，知识点的落实水到渠成。 二、概念性变式帮助学生更好地掌握概念的本质属性 为了让孩子们进一步理解“倍数和因数”的概念，我对教材中的第二个算式做了异化 处理，把第二个乘法写成除法的形式，让孩子在除法算式中辨析因数和倍数的关系，引导 学生进一步体会倍数与因数的含义。同桌互相写互相说的时候，我发现有 1×3=3的例子， 于是利用这类特殊的算式让学生进一步理解“倍数与因数”的概念，同时归纳出“一个数 最小的因数是 1，最大的因数是它本身”的规律。在第三个活动环节中，展开概念性变式 的讨论，通过游戏强调“倍数与因数是相互依存的，不能说某个数是因数，某个数是倍数， 应该说哪个数是哪个数的倍数，哪个数是哪个数的因数。”再一次强调倍数和因数研究的 范围——“只在除 0外的自然数范围内”，让学生更进一步掌握倍数与因数的本质属性。。 三、活动中培养学生的思维能力1. 有序思维：找倍数的活动环节中引导学生体会一般可以用想乘法算式的方法来找 一个数的倍数，要注意引导学生有序思考，并逐步让学生领会一个数的最小倍数是它本身， 没有最大的倍数，倍数的个数是无限的。2. 辩证思维：通过第三个活动中概念性变式的讨论，让学生掌握概念的本质属性。 3. 归纳思维：在第二个活动中同桌之间写算式，说一说哪个数是哪个数的倍数，哪 个数是哪个数的因数，从一般到特殊，总结规律，培养孩子的分析和归纳的能力；在最后 小结的环节中学生用双气泡图呈现本节课的核心知识点，帮助学生牢固掌握本节课的两个 核心概念，为后续建立“质数与合数，公倍数与公因数，最大公因数与最小公倍数，通分 与约分”的概念体系打下坚实基础，培养学生归纳总结的思维能力。