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9.2.3 总体集中趋势的估计 本节《普通高中课程标准数学教科书-必修二（人教 A版）第九章《9.2.3 总体集中趋势的估计》，本 节课通过对反映样本数据集中趋势量；平均数、众数、中位数的回顾，进一步学习在频率分布直方图中对 三个量的算法，同时加深对它们的理解和应用。进一步体会用样本估计总体的思想与方法。从而发展学生 的直观想象、逻辑推理、数学建模的核心素养。 课程目标 学科素养 A.结合实例，能用样本估计总体的集中趋 势参数(众数、中位数、平均数)． B.会求样本数据的众数、中位数、平均数． C.理解集中趋势参数的统计含义. 1.数学建模：在具体情境中运用众数、中位数、平均 数 2.逻辑推理：运用众数、中位数、平均数进行判断 3.数学运算： 计算众数、中位数、平均数 4.数据分析：众数、中位数、平均数的含义 1.教学重点：会求样本数据的众数、中位数、平均数． 2.教学难点：理解集中趋势参数的统计含义. 教学过程 教学设计意图 核心素养目标 一、温故知新 1、定义:一般地，一组数据的第 p百分位数是这样一个值，它使得 这组数据中至少有 p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100-p)% 的数据大于或等于这个值. 2、计算一组 n个数据的第 p百分位数的步骤: 第 1步，按从小到大排列原始数据. 第 2步，计算 i=n×p%. 第 3步，若 i不是整数，而大于 i的比邻整数为 j,则第 p百分位数为 第 j项数据；若 i是整数，则第 p百分位数为 第 i项与第(i+1)项数据的平均数. 3、根据频率分布直方图（频率分布表）计算样本数据的百分位数： 首先要理解频率分布直方图中各组数据频率的计算，其次估计百分 位数在哪一组，再应用方程的思想方法，设出百分位数，解方程可 得． 众数：在一组数据中，出现次数最多的数据. 中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数 据（或最中间两个数据的平均数）． 做一做 1．判断下列说法是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)改变一组数据中的一个数，则这些数据的平均数一定会改变．( ) (2)改变一组数据中的一个数，则其中位数也一定会改变．(　　) (3)在频率分布直方图中，众数是最高矩形中点的横坐标．(　　) √;√;× 2、求下列各组数据的众数 （1）、1 ，2，3，3，3，5，5，8，8，8，9，9众数是：3和 8 （2）、1 ，2，3，3，3，5，5，8，8，9，9 众数是：3 3、求下列各组数据的中位数 （1）、1 ，2，3，3，3，4，6，8，8，8，9，9中位数是：5 （2）1 ，2，3，3，3，4，8，8，8，9，9中位数是：4 4.在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的 17名运动员的成绩 如下表所示： 由回顾知识出 发，提出问题，让 学生感受到对反映 样本数字集中趋势 量；平均数、众数 中位数学习的重要 性。发展学生数学 抽象、直观想象和 逻辑推理的核心素 养。 成绩(米) 1．50 1．60 1．65 1．70 1．75 1．80 人数 2 3 2 3 4 1 分别求这些运动员成绩的众数，中位数与平均数 。 解：在 17个数据中，1.75出现了 4次，出现的次数最多，即这组数 据的众数是 1.75．上面表里的 17个数据可看成是按从小到大的顺序 排列的，其中第 9个数据 1.70是最中间的一个数据，即这组数据的 中位数是 1.70； 答：17名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次是 1.75（米）、 1.70（米）、1.69（米）。 这组数据的平均数是 二、探究新知 为了了解总体的情况，前面我们研究了如何通过样本的分布规律 估计总体的分布规律，但有时候，我们可能不太关心总体的分布规 律，而更关注总体取值在某一方面的特征，例如，对于某县今年小 麦的收成情况，我们可能会更关注该县今年小麦的总产量或平均每 公顷的产量，而不是产量的分布；对于一个国家国民的身高情况， 我们可能会更关注身高的平均数或中位数，而不是身高的分布；等 等. 在初中的学习中我们已经了解到，平均数、中位数和众数等都是 刻画“中心位置”的量，它们从不同角度刻画了一组数据的集中趋 势。 下面我们通过具体实例进一步了解这些量的意义，探究它们 之间的联系与区别，并根据样本的集中趋势估计总体的集中趋势. 例 1. 利用下表中 100户居民用户的月均用水量的调查数据，计算 样本数据的平均数和中位数，并据此估计全市居民用户月均用水量 的平均数和中位数. 9.0 13.6 14.9 5.9 4.0 7.1 6.4 5.4 19.4 2.0 2.2 8.6 13.8 5.4 10.2 4.9 6.8 14.0 2.0 10.5 2.1 5.7 5.1 16.8 6.0 11.1 1.3 11.2 7.7 4.9 2.3 10.0 16.7 12.0 12.4 7.8 5.2 13.6 2.4 22.4 3.6 7.1 8.8 25.6 3.2 18.3 5.1 2.0 3.0 12.0 22.2 10.8 5.5 2.0 24.3 9.9 3.6 5.6 4.4 7.9 5.1 24.5 6.4 7.5 4.7 20.5 5.5 15.7 2.6 5.7 5.5 6.0 16.0 2.4 9.5 3.7 17.0 3.8 4.1 2.3 5.3 7.8 8.1 4.3 13.3 6.8 1.3 7.0 4.9 1.8 7.1 28.0 10.2 13.8 17.9 10.1 通过具体问题， 让学生感受反映样 本数字集中趋势量 平均数、众数、中 位数学习解决实际 问题中的运用，发 展学生数学抽象、 逻辑推理的核心素 养。 5.5 4.6 3.2 21.6 所以估计全市居民用户的月均用水量约为 8.79t，其中位数约为 6.6t. 跟踪练习 1. 小明用统计软件计算了 100户居民用水量的平均数和中 位数，但在录入数据不小心把一个数据 7.7录成了 77.请计算录入数 据的平均数和中位数. 思考:并与真实的样本平均数和中位数作比较。哪个量的值变化更大？ 你能解释其中的原因吗？ 平均数由原来的 8.79t变为 9.483t,中位数没有变化.这是因为样本 平均数与每一个样本数据有关,样本中的任何一个数据的改变会引起 平均数的改变；但中位数只利用了样本数据中间位置的一个或两个 值,并未利用其他数据，所以不是任何一个样本数据的改变都会引起 中位数的改变,因此,与中位数较,平均数反映出样本数据中的更多信 息,对样本中的极端值更加敏感. 通过实例分析， 让学生掌握反映样 本数字集中趋势量； 平均数、众数、中 位数的计算方法， 并熟悉的应用，提 升推理论证能力， 提高学生的数学抽 象、数学建模及逻 辑推理的核心素养。 平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据 分布的形态有关.在下图的三种频率分布直方图形态中，平均数和中 位数的大小存在什么关系？ 例 2.某学校要定制高一年级的校服，学生根据厂家提供的参考身高 选择校服规格，据统计，高一年级女生需要不同规格校服的频数如 下表所示， 校服 规格 155 160 165 170 175 合计 频数 39 64 167 90 26 386 如果用一个量来代表该校高一年级女生所需校服的规格，那么在中 位数、平均数和数中，哪个量比较合适？试讨论用上表中的数据估 计全国高一年级女生校服规格的合理性. 分析：虽然校服规格是用数字表示的，但它们事实上是几种不同的 类别，对于这样的分类数据，用众数作为这组数据的代表比较合适. 解：为了更直观地观察数据的特征，我们用条形图来表示表中的数 据（下图)可以发现，选择校服规格为“165”的女生的频数最高，所 以用众数 165作为该校高一年级女生校服的规格比较合适. 由于全国各地的高一年级女生的身高存在一定的差异，所以用一个 学校的数据估计全国高一年级女生的校服规格不合理. 众数、中位数和平均数的比较 名称 优点 缺点 平均 数 与中位数相比，平 均数反映出样本数 据中更多的信息， 对样本中的极端值 更加敏感 任何一个数据的改变 都会引起平均数的改 变．数据越“离群”， 对平均数的影响越大 中位 数 不受少数几个极端 数据(即排序靠前或 靠后的数据)的影响 对极端值不敏感 众数 体现了样本数据的最大集中点 众数只能传递数据中 的信息的很少一部分， 对极端值不敏感 探究:样本的平均数、中位数和众数可以分别作为总体的平均数、中 位数和众数的估计，但在某些情况下我们无法获知原始的样本数据， 例如，我们在报纸、网络上获得的往往是已经整理好的统计表或统 计图，这时该如何估计样本的平均数、中位数和众数？ 在频率分布直方图中，损失了大量的原始数据，只知道分组和每组 的频率，我们无法知道每个组内的数据是如何分布的，此时，通常 假设它们在组内均匀分布，这样就可以获得样本的平均数、中位数 和众数的近似估计，进而估计总体的平均数、中位数和众数. 你能以下图居民用水的频率分布直方图提供的信息，估计出样本 的平均数、中位数和众数吗? 因为样本平均数可以表示为数据与它的频率的乘积之和，所以在频 率分布直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标 与小矩形的面积的乘积之和近似代替.如图所示，可以测出图中每个 小矩形的高度，于是平均数的近似值为 这个结果与根据原始数据计算的样本平均数 8.79相差不大 根据中位数的意义，在样本中，有 50%的个体小于或等于中位 数，也有 50%的个体大于或等于中位数.因此，在频率分布直方图中， 中位数左边和右边的直方图的面积应该相等 这个结果与根据原始数据求得的中位数 6.6相差不大. 由于 0.077×3=0.231,(0.077+0.107)×3=0.552. 因此中位数落在区间[4.2,7.2)内. 设中位数为 x,由 0.077×3+0.107×(x-4.2)=0.5得到 x≈6.71. 因此，中位数约为 6.71,如图所示. 在频率分布直方图中，月均用水量在区间[4.2,7.2)内的居民最多，可 以将这个区间的中点 5.7作为众数的估计值，如图所示，众数常用 在描述分类型数据中，在这个实际问题中，众数“5.7”让我们知道 月均用水量在区间[4.2,7.2)内的居民用户最多，这个信息具有实际意 义。 在频率分布直方图中，我们无法知道每个组内的数据是如何分布的， 此时，通常假设它们在组内均匀分布，这样就可以获得样本的平均 数、中位数和众数的近似估计，进而估计总体的平均数、中位数和 众数. 跟踪训练 (2)众数为 75.设中位数为 x，由于前三个矩形面积之和为 0.35，第四 个矩形面积为 0.3,0.35＋0.3>0.5，因此中位数位于第四个矩形内， 得 0.3+0.03(x－70)=0.5，所以 x=75. 2.某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出 80名学生，其数 学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示． (1)求这次测试数学成绩的众数； (2)求这次测试数学成绩的中位数 (3)求这次测试数学成绩的平均数． 解（ 1）由图知众数为 (2)设中位数为 x，由图知前三个矩形面积之和为 0.4， 第四个矩形面积为 0.3 0.3＋0.4>0.5，因此中位数位于第四个矩形内 得:0.4+0.03(x－70)=0.5，所以 x≈73.3. 解:由题干图知这次数学成绩的平均数为：×0.005×10＋×0.015×10 ＋×0.02×10＋×0.03×10＋×0.025×10＋×0.005×10＝72. （4）若例 3条件不变，求 80分以下的学生人数． [40,80)分的频率为：(0.005＋0.015＋0.020＋0.030)×10＝0.7， 所以 80分以下的学生人数为 80×0.7＝56. 三、达标检测 1.已知某市 2019年全年空气质量等级如下表所示 通过练习巩固本 节所学知识，通过 学生解决问题，发 展学生的数学抽象、 逻辑推理、数学运 算、数学建模的核 心素养。 根据表中的数据，估计该市 2019年全年空气质量指数的平均数、中 位数和第 80百分位(注：已知该市属于“严重污染”等级的空气质 量指数不超过 400) 2. 某工厂人员及工资构成如下： 人 员 经理 管理人 员 高级技 工 工人 学徒 合计 日 工 资 2200 250 220 200 100 人 数 1 6 5 10 1 23 合 计 2200 1500 1100 2000 100 6900 （1）指出这个问题中日工资的众数、中位数、平均数 （2）这个问题中，工资的平均数能客观地反映该厂的工资水平吗？ 为什么？ 分析：众数为 200，中位数为 220，平均数为 300。 因平均数为 300，由表格中所列出的数据可见，只有经理在平均数 以上，其余的人都在平均数以下，故用平均数不能客观真实地反映 该工厂的工资水平。 利用样本数字特征进行决策时的两个关注点 (1)平均数与每一个数据都有关，可以反映更多的总体信息，但受极 端值的影响大；中位数是样本数据所占频率的等分线，不受几个极 端值的影响；众数只能体现数据的最大集中点，无法客观反映总体 特征． (2)当平均数大于中位数时，说明数据中存在许多较大的极端值． 3.某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出 80名学生，其数 学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示． (1)求这次测试数学成绩的众数； (2)求这次测试数学成绩的中位数； (3)求这次测试数学成绩的平均分． 解析:　(1)由图知众数为＝75. (2)由图知，设中位数为 x，由于前三个矩形面积之和为 0.4，第四个 矩形面积为 0.3,0.3＋0.4＞0.5，因此中位数位于第四个矩形内，得 0.1＝0.03(x－70)，所以 x≈73.3. (3)由图知这次数学成绩的平均分为： ×0.005×10 ＋ ×0.015×10 ＋ ×0.02×10 ＋ ×0.03×10 ＋ ×0.025×10 ＋ ×0.005×10＝72. 四、小结 平均数、中位数和众数的意义 1.平均数： 平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的 个数,特征:平均数的大小与一组数据里的每个数均有关系，其中任 何数据的变动都会相应引起平均数的变动。 2.中位数： 将一组数据从小到大(或从大到小)排列，中间的数称为 这组数据的中位数。如果是奇数个数据，中间的数就为这组数据的 中位数，如果是偶数个数据，中间两个数的平均数为这组数据的中 位数,特征:中位数仅与数据的排列有关，部分数据的变动对中位数 可能没有影响。 3.众数： 一组数据中出现次数最多的数值叫众数，有时在一组数 中有几个,特征:众数着眼于对各数据出现频率的考察，其大小只与 这组数据的部分数据有关。 通过总结，让 学生进一步巩固本 节所学内容，提高 概括能力。 平均数、中位数、众数的联系 众数、中位数及平均数都是描述一组数据的集中趋势的量，其 中以平均数最为重要，其应用也最为广泛。 五、课时练 本节课通过对反映样本数据集中趋势量；平均数、众数、中位数的回顾，进一步学习在频率分布直方 图中对三个量的算法，同时加深对它们的理解和应用教学中要注重学生的主体地位，调动学生积极性，使 数学教学成为数学活动的教学。从而发展学生的直观想象、逻辑推理、数学建模的核心素养。