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“三角形内角和”（朱小丽） 课题名称 三角形内角和 教师单位 北京师范大学南山附属学校小学部 教师姓名 朱小丽 学科 数学 年级 四 教材版本 北师大版 课时信息 无 【课前慎思】 “三角形内角和”是北师大版四年级下册第二单元的内容。课前我们进行了学情调查， 调查情况如下： 问题一：三角形的内角和是( )º。(班级正确率91.6%) 问题二：在一个三角形中，∠1=65 º，∠2=70 º，则∠3=( ) º。(班级正确率 85.4%) 从调查中我们发现：对于三角形内角和的认知，其实大部分学生已然知晓。那么，对 于教师而言，在学生已经知道结论的情况下，到底还要教给学生什么；在学生觉得结果已 经一目了然的情况下，如何有效的调动学生学习的积极性，进一步提升学生的思维水平， 这些都是教师需要去认真思考的问题。学生的起点是我们一切教学活动的出发点，鉴于此 我把本节课的重心由“我知道了什么”调整为“我是怎么知道的”，从学生已有知识起点 出发， 设计富有层次性、挑战性和趣味性的教学环节，并借助思维工具，将思维方法、思 维过程显性化，向学生揭示一种普遍的、一般性数学研究方式，为学生今后的探究性学习 垫定基础。 【教学目标】 1 知识目标 通过操作活动，探索发现和验证“三角形内角和是180º”的规律。 2 技能目标 让学生经历“猜想—验证—结论—应用”的学习过程，培养学生的合作能力和动手实 践能力。 3 思维目标 1．借助流程图，让学生掌握并运用“猜想—验证—结论—应用”的研究问题的方法， 并初步形成科学的实验态度。 2．构建认识冲突，让学生在思维的碰撞中不断接受有挑战性、有层次性的思维挑战， 提升学生的思维水平。 【课堂实录】 1 开门见山，直奔主题 师：今天我们要学习三角形的内角和，谁能借助屏幕上的这个三角形来说一说：内角 和是什么意思？ 生指屏幕：这是三角形的三个内角，内角和就是这三个内角的总和。 师(课件演示)：没错，三角形相邻的两条边所形成的夹角，就是三角形的一个内角， 内角和，顾名思义，就是三个内角的度数之和。 2 构建认知冲突，引出猜想 师：今天发生了一个和内角和有关的小插曲，大家想看一看吗？ 生：想! 播放动画，故事梗概如图1所示： 图1 借助动画，引入认知冲突 师：可怜的钝角三角形，同学们，你是怎么想的？ 生 1：都是180度。 生 2：没错，它们三个的内角和都是180º。 师：有跟他们不一样的想法吗？(无人举手)看来大家都认为这三个三角形的内角和都 是180º，(师板书：180º)你是通过什么途径知道的？ 生 1：我爸爸告诉我的。 生 2：我在外面上辅导班老师教的。 …… 师：这样看来，这个“180º”基本上都是别人告诉我们的，还没有经过我们自己的亲 自验证，那我们只能说，这还只是一种猜想。(师板书：猜想) 3 合作探究，验证猜想 1．验证猜想 师：要想知道我们的猜想是否正确，最直接的办法是什么？ 生：可以验证一下，用量角器量出三个角的度数，再加起来，看看是不是都是180º。 师：验证，不错，测量确实是一个验证的好办法，我相信聪明的你们一定还能想出更 多的验证方法。(师板书：验证) 师：今天我们就以小组合作的方式，一起来验证一下我们的猜想，行吗？ 生：没问题! 师：为了方便大家验证，我为每个小组准备了一个学具盒，里面装有各种类型和各种 大小的三角形，其中也包含刚才动画里的三位好朋友，下面请听合作要求。(师播放课件， 并请一生读合作要求) 师：老师再补充一点提示：如果是选择测量法的小组，请填好测量记录表，一定要注 意数据真实。不可为了拼凑数据而弄虚作假，失去了实事求是的科学精神。验证时间：5 分钟，需要记录表的小组可以来老师这儿领取。测量记录表如表 1所示： 表 1 三角形内角和小组测量记录表 三角形的类型 内角和 ( )三角形 ( ) °+ ( ) °+ ( ) °= ( ) ° ( )三角形 ( ) °+ ( ) °+ ( ) °= ( ) ° ( )三角形 ( ) °+ ( ) °+ ( ) °= ( ) ° 验证活动开始，教师巡视并指导。 2．汇报验证结果 (1)冲突一：他们真的量错了吗？ 师：时间到了，哪个小组能来介绍一下你们的验证方法以及你们的结论。 小组 1：我们小组用的是测量法，我们一共测量了三个三角形，第一个是锐角三角形， 三个内角的度数分别是：85º、63º、32º，内角和是180º，第二个三角形是直角三角形， 三个内角的度数分别是：90º、60º、30º，内角和也是 180º，第三个三角形是钝角三角形 三个内角分别是：123º、27º、30º，内角和也是180º，我们的结论是：三角形的内角和就 是180º。 师：有没有测量结果不一样的？ 小组 2：我们组不一样，我们组有一个三角形怎么量都是 184º，我们几个都量了，确 实是这样。 师：怎么会这样呢？ 生 1：一定是他们量错了。 生 2：三角形的内角和就是180º，怎么可能有184º？ 生 3：我觉得是有可能的，三角形的边有粗有细，有时候会指在两个度数的中间，这 样的话你会取哪个度数？ 生 4：没错，如果一个角的度数多出了一两度，三个角多出5、6度都是正常的。 师：从你们的争论中，我听明白了，你们都认为三角形的内角和是 180度，但这一组 同学出现了184º的情况，而且他们保证说量了好几次都是这个结果，说明我们在测量时存 在误差，有三角形本身的原因，有测量工具的原因，当然测量过程中也会出现一定的误差 这都是正常的。包括在我们今后的很多实践，我们都要考虑到误差的存在。既然测量可能 存在误差，那还有别的验证方法吗？ 小组 3：我们组是把三角形的三个角撕下来，再把它们拼到一起就形成了一个 180 º 平角。（生上台演示） 师：有没有和他们方法一样的小组，请举手。这种方法很有意思，能给它取个名字吗？ 生 1：撕纸法 生 2：撕拼法 …… 师：撕拼法很形象，那我们就叫它撕拼法，好吗？(师板书：撕拼法)，还有别的办法 吗？ (2)冲突二：折叠法只能在等腰三角形中适用吗？ 小组 4：我们组有一种办法，但只在等腰三角形上适用。(生上台演示)，如图 2所示， 沿虚线折： 图2 学生展示三角形内角和的验证方法 师：这种办法在别的三角形中真的不能用吗？有谁在不同的三角形中用过？大家都来 试一试 生 1：我在锐角三角形中用过。(生上台展示) 生 2：你这个也像是等腰锐角三角形。 生3：我在直角三角形中也用过折的方法，但折法不一样，我的这种折法只能证明直 角三角形（的内角和）是180 º。(生上台展示，如图3所示，沿虚线折) 图3 学生展示直角三角形内角和的验证方法 师：这种方法也很好，但折法和刚才有所不同，刚才那种折法真的只能在等腰三角形 中适用吗？有没有同学在非等腰三角形中也能用，大家再试一试。 生 4：我试出来了，我试出来了!(生上台展示) 师：掌声表扬他，真是一个能坚持的孩子!你是怎么想到的？ 生 4：我只是想既然三角形的内角和是 180度，那三个角折在一起就一定能折成一个 平角，所以一直不停的试，结果还真折出来了。 师：真好，其他同学课后也去试一试，看看你的三角形是不是也能用这种折法。 师：就请你给这种方法起个名字吧。 生 4：就叫折叠法吧。(师板书：折叠法) 师：同学们想到了很多办法，老师把大家的两种主要办法疏理了一下，一起来看一看， 是不是这样的？(课件演示：撕拼法和折叠法) 师：还有别的办法吗？ 生 5：我还有一个方法，但只能证明所有的直角三角形内角和都是 180 º。我们可以 先画一个长方形，沿对角线剪开分成两个直角三角形，长方形的内角和是 360 º，那么每 个直角三角形的内角和就是180 º。 师：你可真厉害，连这个都想到了。（其他生鼓掌）还有方法吗？（无人举手） 生：应该没有了吧。 (3)冲突三：还有我们没想到的验证方法？ 师：在这里老师要向大家介绍一位天才数学家：帕斯卡，他在 12岁的时候就研究出 任意三角形的内角和都是180 º，想知道他是用什么方法验证的吗？（播放微课视频） 视频内容梗概如下： 任意长方形，沿对角线剪开可得到两个相同的直角三角形，长方形的内角和是 360 º，那么每个直角三角形的内角和就是 180 º。任意一个锐角三角形或钝角三角形都可以沿 高分成两个直角三角形，这些锐角或钝角三角形的内角和都可以通过分成的两个直角三角 形的所有内角之和减去三角形底边两个直角得出是：360 º-2×90 º=180 º，如图4所示： 图4 关于帕斯卡的验证方法微课视频截图 生：哇，太厉害了！ 师：怎么样？帕斯卡的方法谁看明白了？ 请 1生描述。 3．得出结论 师：刚才我们通过测量法，撕拼法，折叠法以及其他的方法都验证了同一个结论。 生齐：三角形的内角和是 180 º。（师板书：结论：任意三角形的内角和是 180 度。） 师：自己亲自验证有成就感吗？还记得刚上课时几个三角形小伙伴们的争论吗？现在 你是不是可以非常明确的，有底气的做一回小裁判呢？ 生：不管什么类型的三角形，也不管高矮大小，内角和都是180 º。 师：说得好!那如果我把这个最小的钝角三角形从中间分开，变成两个更小的三角形 它的内角和还是180度吗？如果再分呢？ 生：都是180 º。 4 趣味练习，巩固提升 师：我们知道了三角形内角和是 180 º，你能不能应用这一原理，解决一些实际的问 题呢？(师板书：应用) 练习一：用两把完全相同的三角尺分别拼出一个四边形和一个三角形，想一想它们的 内角和分别是多少？如下图5所示： 图5 课堂练习一 师：同桌互相讨论完成，并想一想这两个图形的相同点和不同点是什么？ 根据学生回答完成双气泡图，如图6所示： 图6 借助双气泡图揭示两种不同拼法的异同 练习二：趣味游戏，用小程序创造三角形。 师：同学们都学得非常好，我们现在来轻松一下，玩个游戏怎么样？ 生：好! 师：请你在心里想一个三角形，并在练习纸上写下它三个内角的度数，然后在老师的 电脑程序上填出这三个内角的度数，猜猜在电脑上会生成的是什么样的三角形呢？ 玩了五、六轮后，孩子们兴趣仍然很大。 师：孩子们由于时间关系，我们先玩到这里，课后可以把这个程序拷贝下来，和小伙 伴们继续玩。 5 变式拓展，总结延伸 1．回顾总结 师：学到这里，我们来回顾一下，今天我们是怎么知道三角形的内角和是180度的？ 生：老师先带着我们进行了猜想，然后再小组合作用不同的方法进行了验证，最后得 出了结论，然后我们还用这个结论，解决了一些问题。 师：说得真好，猜想→验证→结论→应用，这是我们数学学习中非常重要的一种学习 方法，黑板上的这种图示叫做流程图（如图 7所示），它把我们探究三角形内角和的过程 和步骤完整的记录下来了。 图7 借助流程图梳理学习步骤 2．变式拓展 师：同学们，你能仿照黑板上的流程图来探索任意四边形、五边形的内角和是多少度 吗？咱们先在课堂上试着画出流程图，课后再根据流程图进行验证，好吗？（课件出示， 学生画流程图） 3．展示学生作品 图8 学生作品 图9 学生作品 图10 学生作品 师：由于时间关系，我们先展示到这里，课后可以试着用你所写的方法来验证一下你 的猜想是否正确。 生：好的。 师：孩子们，今天你们实在太棒了，让在座的老师都非常惊讶，老师最后还有一句话 想送大家，这是古希腊著名数学家、哲学家毕达哥拉斯的一句话： 在数学的天地里， 重要的不是我们知道什么， 而是我们是怎么知道的。 -------古希腊 毕达哥拉斯 师：我相信今天你们做到了，下课！ 【课后反思】 将思维工具与数学课堂相结合，是一种很有意思也很有意义的举措，人们常说：数学 是思维的体操。可见数学学科应该是最能体现思维本质的学科，也是最能提升学生思维水 平、思维深度的学科。在我们的数学教学中，经常会提到培养学生的数学的核心素养、帮 助学生形成数学的基本思想和基本活动经验，这些其实与思维提升是一脉相承的。而思维 工具的使用能帮助学生的将这些基本的数学思想和活动经验显性化，从这一方面来说，确 实对学生大有裨益。本节课中我尝试使用双气泡图和流程图来帮助学生梳理思路，自我感 觉使用得还是比较恰当的，双气泡图强化并突显了学生的类比思维，流程图梳理了学生的 知识探究步骤，将学生零散的思维经验提升为一种更为稳定的思维模式，相信学生在本节 课中应该是有所收获的。 【专家评析】 直观操作是小学生认识图形性质的基本方法，本节课通过学生的动手量、撕、拼、折 等操作活动感知图形的特征，同时也在操作活动中获得活动体验和经验，让学生真正经历 了从“猜想—验证—结论—应用”的论证的全过程，在这一论证过程中，我们可以看到批 判式思维充斥全程，学生在不断接受不同层次的思维挑战，教师有意识的抓住学生回答中 的认知冲突，并把它们转变为宝贵课堂生成资源，放手让学生在不断的思维碰撞中感知知 识的本质，体会思辩的乐趣，感受数学的魅力。 同时本节课也是对思维工具与数学课堂相结合的一次有益尝试，课堂中学生运用流程 图初步探索任意四边形或五边形的内角和，设计研究的流程与步骤，通过变式练习，让学 生真正体会解决数学问题的方法和其背后的数学思维，从而达到提升学生思维水平的目的。 （广东省深圳市北京师范大学南山附属学校 蔡碧丽）