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“探究三角形全等条件SSS”教学设计（袁子雁） 广东省深圳市南山区中国科学院深圳先进技术研究院实验学校 袁子雁 【简介】我校作为“思维发展型课堂”联盟学校，致力于运用思维工具提升课堂教学质量，在专家的指 导下，探索从直接思维课到思维融入课的步步推进。本节课选自北师大版义务教育教科书数学七年级下册 第四章第三节“探究三角形全等的条件”第一课时，它是在学习全等三角形的定义及性质的基础上提出来 的，此探究过程包括分类思想以及画图和实验的方法。我们利用各种思维工具，使学生思维显性化，进而 探索思维工具与初中数学学科教学的融合方法。 【教学内容分析】 本节课的内容是北师大版数学七年级下册第四章第三节“探究三角形全等的条件”的第一 课时——用SSS判定三角形全等，属于“几何与图形”的版块。本节课的主要内容是探究三角 形全等的条件 SSS，在上一节学生已经掌握了全等三角形的定义及性质，了解可以用定义来说 明两个三角形全等，本节课是研究如何简化判断三角形全等的条件。全等三角形是研究 图形的 重要工具，只有掌握并灵活的加以运用，才能学好等腰三角形、四边形和圆等几何内容，同时 也为今后研究轴对称、旋转等全等变换打下良好的基础。本节课是一节探究课，主要利用流程 图梳理探究数学问题的过程，用思维导图分析分类讨论思路，从而探究三角形全等的条件—— SSS，进而培养学生分析能力以及分类讨论的数学思想。 【学习者分析】 学生在上一节课已经学习的全等三角形的定义及性质，在生活中也对全等三角形并不陌生， 但七年级的学生仍以形象思维为主，需要在教师的引导下逐渐培养逻辑思维，同时他们对探究 数学问题的过程和方法比较陌生，合作意识较弱；虽然之前已经学习了尺规作线段和尺规作角， 但很多学生还是掌握的不够熟练；另外学生们对八大图示和概念图分析解决问题的能力有所欠 缺。 【教学目标】 一、知识与技能 1.了解三角形的稳定性。 2.会应用“边边边”判定两个三角形全等。 二、过程与方法 1.能够利用尺规画出全等的三角形，具有一定的作图能力。 2.经历用操作、归纳得出数学结论的过程，培养学生的动手能力以及发现、归纳、总结问题的 能力。 三、情感态度价值观 1.感受数学推理的严密性，培养有条理的思考和表达能力。 2.通过画图、比较、验证，培养学生注重观察、善于思考的良好思维习惯。 四、思维目标 1.借助流程图，梳理探究数学问题的过程，培养学生探究问题的能力。 2.借助思维导图，分析分类讨论时的思路，培养学生分类讨论的数学思想。 3.借助双气泡图对比例题的异同，发展学生发现与分析的能力。 4.在学生的思辨过程中培养学生的批判性思维。 五、 教学重难点分析 1.教学重点 应用“边边边”证明三角形全等 2.教学难点 探究三角形全等的条件，学会综合分析法 【教学设计思路】 【教学过程】 一、问题引领，激发兴趣 多媒体展示： 【问题】中科先进院实验学校为了创建文明和谐的校园文化环境，需要制作一批三角形流 动红旗，为了节省资金，决定由学校后勤自制，要求所有的三角形必须全等。我们应如何操作 呢？ 师：同学们，我们上节课学习了全等三角形的概念和性质，大家还记得全等三角形有什么 性质吗？ 此时教师在 PPT展示两个全等三角形。 图 1 两个全等三角形示意图 生：AB=A′B′，BC=B′C′，CA=C′A′，∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′ 师：非常好！回到我们刚才的问题，我们在制作三角形流动红旗时一定要逐一检查这六个 条件吗？ 生：好像有些麻烦，如果条件能少一些就好了。 师：说明大家已经开始思考了，那么这是不是一个数学问题呢？它会是一个什么数学问题 呢？请大家积极思考，我们尝试着表达出来。 生：这是一个数学问题，是让我们解决两个三角形在什么条件下能够全等。 师：这位同学非常了不起，是的，这就是我们今天要探究的数学问题——探究三角形全等 的条件。 【设计意图】利用现实问题情境激发学生的探究欲望，满足多样化的学生需要，发展学生的个 性思维。通过旧知回顾引入新课课题回忆旧知识，为探究新知识作好准备。 二、思维工具引领，合作探究解决重难点 将学生分为小组，便于后面进行合作讨论。 （一）合作学习，唤醒研究思路 师：明确了数学问题，下面我们就要开始探究影响问题的因素有哪些。我们知道三角形的 要素有什么呢？ 生：边和角。 师：既然大家希望这些边和角的条件少一些，你们最想减少到几个呢？请小组进行讨论， 根据条件个数进行分类，同时将每一类个数所涉及的边和角的组合表示出来，用思维导图的形 式呈现你们的想法。 下图是其中一个小组代表展示的分类情况。 【设计意图】借助思维导图培养学生分类讨论的思想，使得思维显性化。学生在合作中激发思 维的火花，从而总结归纳出不同条件个数时的分类情况，也为下面进一步讨论每一种情况做铺 垫，在学生汇报的过程中形成思辨思维，在辩论中培养学生的批判性思维。 （二）反例证明，深入研究过程 师：我看到大家最希望只用一个条件了，那我们先来看看这种情况是否可行。这种情况包 括一个角和一条边，有没有哪位同学能举出反例呢？可以上黑板来展示一下。 引导学生在一个条件的位置处画出反例图形。 图 1 只给一条边情况 图 2 只给一个角情况 师：很好。既然一个条件不行，那我们看看两个条件行不行。通过刚刚大家的思维导图， 我们知道两个条件包括两个角、两条边以及一个角和一条边。那么这三种情况又有哪些反例呢？ 请小组先进行讨论，一会儿我找一个小组代表上台来给大家展示一下。 引导学生在两个条件的位置处画出反例图形。 图 3 两条边对应相等情况 图 4 一 条边一个角对应相等情况 图 5 两个角对应相等情况 【设计意图】通过合作讨论，激发学生对问题的深度思考，举出反例来证明自己的观点，通过 让学生展示作品，提高学生的自我认同感，这样不仅能够激发学生对数学的热情，也能培养学 生的自信品质，而且课堂气氛比较活跃。 （三）动手操作，感知探究乐趣 师：非常棒。那么我们进一步去思考，当出现三个条件的时候情况就更多了，我们今天就 先来看看三条边相等的时候是什么情况。 教师在黑板上用三根长分别为 4cm，5cm，7cm的木棒拼成一个三角形。 师：我在各个小组放了三根长分别为 4cm，5cm，7cm的木棒，请各小组派一个代表上台拼 一下，看是否与老师摆的三角形重合呢？ 图 6 三角形木棒 师：大家看两个三角形是否重合呢？ 生：是的。 师：大家能感受到什么呢？ 生：说明三边相等的两个三角形是全等的。 师：很好，大家已经从直观上感知到了这个结论，我们前面已经学习了尺规作图，同学能 不能尝试着用尺规画出一个三边长分别为 4cm，5cm，7cm的三角形呢？并且看能画出几个呢？ 下面请各小组讨论尝试作图，一会儿找一个小组上台展示。 图 7 尺规作图画三角形全等 引导学生边展示边讲解尺规作图过程。 【设计意图】通过摆木棒的实验让学生直观感受 SSS确定三角形的唯一性，接着以学生画图活 动为主线，展开探究活动，注重“SSS”条件的发生过程和学生的亲身体验，从实际中获取 “SSS”条件，培养学生探索、发现、概括规律的能力。在这个过程中，学生不仅得到了两个三 角形全等的条件，同时增强了数学体验。 （四）组织学生，整理思维过程 师：通过刚才的摆木棒以及尺规作图的过程，大家能得到一个什么结论呢？ 生：三边对应相等的两个三角形全等。 师：非常好！在不知不觉中，大家已经完成了一个数学问题的探究，回忆一下我们刚刚探 究的过程，请各小组进行讨论，将我们刚刚探究的过程用流程图画出来。 图 8 探究数学活动的一般过程 【设计意图】利用流程图锻炼学生的思维过程，引导学生掌握探究一个数学问题的方法，在过 程中让学生慢慢体会感知，这个过程不仅能够培养学生的逻辑推理能力，也能够让学生的思维 过程显现出来，让学生能够清楚知道自己是如何思考的，进一步培养学生自我梳理问题的能力。 三、拓展延伸，巩固新知 师：下面通过例 1我们一起来看看如何运用我们得到的结论来证明两个三角形全等，并且 在书写时有哪些要注意的事项。 教师在 PPT上展示例 1： 如图，已知 , ,AB CD BC AD ABC CDA   和是否全等？是说明理由。 师：大家先尝试着独立思考解决例 2。 教师在 PPT上展示例 2： 如图，C F   、是线段AD上的两点，AB=DE,BC=EF,要使ABC DEF,则还需要什么条件 ？ 师：小组讨论，尝试用气泡图表示两个例题之间的区别和联系。 分类影响因素探讨命题成立因素明晰数学问题 归纳总结探究结果 应用分类讨论方法 图 9 例题比较双气泡图 【设计意图】利用问题驱动，通过两个例题的难度逐渐提高，在例 1中教师引导学生掌握证明 三角形全等的基本方法与书写格式，让学生在例 2中进行进一步探究。借助双气泡图对例 1、 例 2进行比较，让学生明确例 2在哪些方面对三角形全等进行了升级，从而形成发散思维，也 让学生对题型有进一步的认识与提高。 【板书设计】 【教学反思】 问题情境：在课程开头设置了“制作流动红旗”的问题情境，和学生的学校生活紧密联系，引 发学生兴趣。 认知冲突：本节课设置了两次认知冲突。第一次是在创设问题情境后，引导大家思考究竟需要 几个条件才能判断两个三角形全等。第二次是在学生希望只用一个条件判断，而现实是不可以 的，因此需要反例来加以证明。通过学生产生认知冲突，形成问题串，激发学生学习新知识的 欲望，促进课堂发展。 可视化：（1）在分析三角形全等条件的个数时，通过思维导图将思想显现化。借助思维导图 培养学生分类讨论的思想。学生在合作中激发思维的火花，从而总结归纳出不同条件个数时的 分类情况，也为下面进一步讨论每一种情况做铺垫，在学生汇报的过程中形成思辨思维，在辩 论中培养学生的批判性思维；（2）通过画流程图和学生一起梳理探究数学问题的过程和思路， 进一步培养学生自我解决问题的能力，形成一个可遵循的模板，有利于今后学生进行尝试探究； （3）在得到SSS定理后，通过两个例题的比较，用双气泡图帮助学生的形成发散思维，同时对 题型有进一步的提高。 变式运用：习题例 2是在例 1的基础上加以变式，锻炼学生的思维能力，对判断条件的理解力， 是否熟练灵活掌握本节课内容，有利于拉开题目难度梯度，适合不同情况的学生，使得课堂更 有层次性。 其他教学反思内容：本节课从现实情境出发，同时复习旧知，通过不同条件个数的分类情况 让小组讨论，在每个环节的安排中，突出了问题的设计，教师通过一个个的问题，把学生的思 维激发起来，从而使学生主动、有效地参与到学习中。首先精心创设情境，唤起学生探索的欲 望。这也培养了学生分类讨论的数学思想。从一个条件到两个条件再到三个条件，引导学生每 种情况再进行细分，举出反例来进行证明。在操作过程中，教师较好地激发了学生的学习兴趣。 大部分同学在进行小组讨论后，可以把自己的思维与所学的知识连在一起。 找到推论条件已 知 条 件 齐 全 证 明 三 角 形全等 例2例1 利用 SSS 判定条件给出直接条件 涉 及 隐 含 条件 探究三角形全等的条件 SSS 例