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《利用相似解决反比例函数问题》教学设计与反思 广东省深圳市南山区第二外国语学校（集团）海德学校 朱冬莲 【简介】 “图形与几何”部分的整体教学目标确定为：在探索、发现、确认、证明图形性质的过程 中，借助几何直观，把复杂的数学问题变得简单、形象，发展空间观念和推理能力。同时优化 教学设计是建构和谐高效的重要支点。 这节课我基于对“反比例函数”“图形的相似”章节内容的理解，对“反比例函数”和 “图形的相似”内容、地位和作用的认识，进行教学设计，从数学学科学习的特点和学生的 认知规律出发，通过一系列“问题”的设置，层层递进、顺次展开，力求“还原”数学知识 生成的过程。该课题的教学设计，是九年级数学组基于对“反比例函数”“图形的相似”章节 内容的理解，对“反比例函数”和“图形的相似”内容、地位和作用的认识，考虑数学学科 学习的特点，遵循学生的认知规律，在多次集体研讨、试教交流、修正设计方案的基础上共同 完成的．课后反思，主要就问题设计、问题引导的处理、本课的实际教学效果，对教学设计提 出改进建议． 关键词：反比例函数 k的几何意义；相似三角形的性质；教学设计；教学反思。 【前期分析】 一、内容和内容解析 本节课即属于《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》中的“数与代数”领域，又属 于其中的“图形与几何”领域。是在已经学习了反比例函数的图像性质以及相似三角形的性质， 进一步图象的研究和分析，利用相似三角形的性质来研究反比例函数的问题． 反比例函数是继一次函数之后又一重要的基本函数，它为今后学习图象和曲线的关系（如 二次函数）提供了研究方法。反比例函数本身在日常生活和生产中也有着许多直接应用，这对 学生建模思想、数形结合思想等重要思想方法的形成，也会产生较大的影响，所以反比例函数 是本章教学的重点。反比例函数图象的两个分支，给反比例函数的性质带来复杂性，学生不易 理解，是教学的难点之一；综合运用反比例函数的解析式、图象和性质解决实际问题时，往往 会遇到较复杂的问题情境，需要建模，利用图象以及综合运用方程、不等式及其他数学模型， 所以综合运用反比例函数知识解较复杂的实际问题是教学又一主要难点． 相似三角形的性质，根据定义，相似三角形的对应角相等，对应边成比例，相似三角形还 有对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比、周长比等于相似比、面积比等于相似比 的平方的性质。这些性质在几何研究中起着很重要的作用。本节课主要应用相似三角形对应边 的比等于相似比、面积比等于相似比的平方的性质解决反比例函数问题。 二、学习者分析 九年级的学生总体学习能力较高，思维已经得到了一定发展，但是对于这种综合类的问题 的分析、概括能力还有待进一步的提高。需要老师引导学生逐步分析、层层递进，总结出结论。 对于构造相似三角形解决问题这个方法，学生已经学过，但对于和反比例函数问题结合在一 起的内容，学生并不熟悉，还处于探究阶段，学生会存在以下疑问： （1）怎样构造相似模型？ （2）为什么要构造相似模型？ （3）在不知道点的坐标下怎样利用相似三角形的性质？ 教学时应注意进行有针对性的引导，注意从图形分析入手，让学生先从点的坐标分析， 再过度到线段的分析，从而发现相似三角形。分析利用坐标或利用比例系数 k的几何意义求 反比例函数比例系数 k的这两种方法。教学过程中应注意从坐标转化到线段，线段转化成坐 标的过程，再利用相似三角形对应边的比等于相似比，面积比等于相似比的平方的性质解决 问题。 三、教学重难点分析 1、教学重点：总结方法——“向坐标轴作垂直构造相似”。 1 2、教学难点：灵活应用“构造相似”解决反比例函数问 题。 四、教学支持条件分析 根据本节课教材内容的特点，为了更形象、直观地突出重点、 突破 难点，可借助信息技术工具，以 《几何画板》 为平台， 复习反 比例 函数和相似三角形的相关知识点。为了更直观的展示学生掌握情 况， 可以利用 ipad电子产品展示汇报学生解题思路。 【教学目标】 知识与技能目标 （1）复习相似三角形、反比例函数的性质； （2）掌握求反比例函数比例系数 k的方法； （3）应用相似三角形的性质解决反比例函数问题； 过程与方法目标 （1）通过探索解题方法，培养学生的观察、分析、探究、归纳及概括能力。 （2）感悟“数形结合思想”“转化思想”“方程思想”，能应用“数形结合思想”“转化思想” “方程思想”； 情感态度与价值观目标 通过本节课的学习，增强学生的学习兴趣，将数学应用到实际生活中，增加学生学习数学的乐 趣。养成学生独立思考，反思质疑的学习习惯。 思维目标 借助几何图形，让思维更加形象、严谨化，同时通过一题多解，培养学生的发散思维。 目标解析 （1）本节教学内容的脉络是：根据一题多解、一题多变的思路设计了本节课的教学内容。先复习 相似三角形的常见相似模型、相似三角形的性质以及反比例函数的解析式以及 k的几何意义， 然后按着由简到繁，由浅到深的顺序研究问题并归纳出解决问题的方法。因此掌握反比例函数 图像基本性质以及相似三角形的性质是解决这个问题的基础。 （2）数学思想的教学一般要经过渗透孕育期、领悟形成期、应用发展期、巩固深化期 4个 阶段，而不能复制与灌输，在探究反比例函数中的相似应用时，让学生领悟到转化思想、方程 思想、数形结合思想的存在，并能应用这些思想观察分析图形，解决反比例函数问题。 （3）在解决反比例函数问题的过程中，让学生经历观察、分析、探究、归纳、概括的认知 过程，培养学生良好的思维品质， 提高学生的思维能力． 【教学过程】 （一）复习回顾，引入新知 问题 1：你说我画：相似三角形有哪些常见模型？相似三角形的性质有哪些？ A字型、反A字型、共角共边型、8字型、反 8型、一线三等角型、一线三垂直型…… 相似三角形的对应边的比等于相似比、对应线段（高、角平分线、中线）的比等于相似比、 周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方。 问题 2：我画你说：如何求反比例函数的比例系数 k？ 坐标法：若点B（m，n）在反比例函数图像上，k=mn； 面积法： kSOABC  、 2 kS OAB  。 师生活动：教师提问，学生思考、回答，教师根据学生回答的情况加以补充，并将答案展 2 B（ 3， 6） A . B A . 示在 ppt中。 【设计意图】复习相似三角形的性质和反比例函数图像性质、k的几何意义，为探索新问 题做好铺垫。 （二）观察探究，总结方法 例 1 已知点 B（3，6），连接 OB，线段 OB上取一点 A，使得OA:OB=2:3，其中点 A 落在反比例函数 x ky  图像上，求 k。 师生活动：教师引导已经解答出来的学生说出解题步骤，教师板书解题过程。注意引导学 生两种方法解决这个问题。 【设计意图】探索基本题型并总结方法——向坐标轴作垂线段，构造 A字型相似，利用相 似的性质解决反比例函数问题。 小结方法 问题 3 本题的方法关键是什么？ 问题 4 本题蕴含了哪些数学思想? 师生活动：教师引导总结，并在 ppt和黑板中展示并回顾解题过程。 【设计意图】通过梳理解题过程，引导学生总结出解决本题的方法，渗透其中蕴含的数形 结合思想、方程思想、转化思想。在总结、说出解题方法的过程中， 增强学生对图象的观察、 感知、分析、概括的能力。 （三）巩固应用，应用新知 变换：若 B点是反比例函数上 x ky  的一个动点，连接 OB，取线段OB上取一 点A，使得OA:OB=2:3，其中点A落在反比例函数 x ky  上。 （1）k=______。 （ 2）过 B 作 轴xBD  ，交反比例函数 x ky  图像于 E 点，连接 OE, _____BOES 。 师生活动：学生讲解解题思路，教师引导学生思考“变换”为什么和“例 1”的答案一样， 并找出异同点，挖掘变化中的不变量。发现“例 1”中的 B点也是 xy 18 上的点，只是前一个 坐标法 研究方法 构造相似 面积法 边坐标 面积 求出答案列出方程相似三角形反比例函数 线段 转化思想、方程思想、数形结合思想 3 xC O D B A y xC O D B A y . B（ 3， 6） A 是定点，后一个是动点。 【设计意图】应用上题总结的方法解决初级问题（AB是动点），巩固向坐标轴作垂线构造 相似解决反比例函数问题这个方法，并强化利用 k的几何意义求 k值，即面积法。 直击中考： “依葫芦画瓢” （2014深圳中考真题改编）如图，双曲线 xy 8 当经过 Rt△BOC斜边上的点 A，且满 足 5 2OB OA ，与BC交于点D，求 BODS 的值， “变形金刚” （2014深圳中考真题改编）如图，双曲线 ky x 当经过 Rt△BOC斜边上的点 A，且满足 5 2OB OA ，与BC交于点D， 21BODSV ＝ ，求 k的值， 师生活动：学生抽选完成以上问题，并利用 ipad展示并讲解解题过程。教师引导学生对 比两个问题的区别与联系，发现两个题目其实只是把条件和问题进行了调换，从而训练学生的 逆向思维。 【设计意图】 （1）在变 1的基础上讨论 k值为负的情况并加深用“A字”模型解决反比例函数问题的理 解； （2）以抽选方式提高学生研究兴趣，并训练学生的逆向思维。 （3）让学生感知中考难度，强调本知识点在中考中的重要性。 （四）思维变式，强化训练 例 2：已知点 B（3，6）， OBOA 且OA:OB=2:3，其中点 A落在反比例函数 x ky  上， 求 k。 师生活动：学生讲解解题思路，总结方法，并找出与例 1方法上的异同 点，挖掘两个例题都是向坐标轴作垂线构造相似三角形，再利用相似三角形的性质求出 k值。 【设计意图】应用上题总结出除了可以构造 A字相似还可以构造其他相似模型来解决问题， 但方法的关键都是为了将点的坐标转变成线段然后向坐标轴作垂线构造相似三角形， 再利用相似三角形的性质解决问题。 （五）巩固应用，升华问题 4 BAC 比一比：如图，在△AOB中，AOB＝90，点 A在双曲线 y＝ )0( 2  xx 上，点 B在双 曲线 y＝ 1 x （x＞0）上.则 .________OB OA ； 师生活动：比一比谁能更快更准地完成这个问题，学生讲解解题思路，快速完成这个问题。 【设计意图】强化构造“一线三垂直”模型，再利用相似求出 k值。 提升演练：(1)已知 A是双曲线 y= 在第一象限上的一动点，连接 AO并延长交另一 分支于点 B，以 AB为边作等边三角形 ABC，点 C在第四象限，已知点 C的位置始终在一函数 图象上运动，则这个函数解析式为_____________________。 （2）如果上题的 ABC 改成等腰三角形，CA=CB,且 120ACB ,则解析式为________ __________。 师 生 活动：教师引导学生挖掘隐含条件，找出问题的突破 口，完成 的同学在黑板上讲解解题思路，梳理解题过程。 【设 计意图】挖掘题目中的隐含条件，深度理解构造“一 线三垂直”相似模型的必要条件即已知“线段垂直”和“线段比”。 （六）总结回顾，提升思维 问题 5 本节课有什么收获？ 问题 6 本节课传递什么生活哲理？ 师生活动：学生谈本节课的学习感受，教师梳理、概括本节课的主要学习内容。并揭示蕴 含的生活哲理。 【设计意图】教师引导学生归纳本节课的知识要点和思想方法，使学生对反比例函数和相 似三角形的内容有一个更深的理解，同时，使学生养成良好的学习习惯。并引导学生利用数学 的思维解决一些生活中的问题。 （七）目标检测设计 随堂练习 1、如图，已知双曲线 经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直 角边AB相交于点C．若点A的坐标为（﹣8，6），则△AOC的面积为_________. 2 、 如 图 ， 点 A 、 B 分 别 在 第 二 象 限 和 第 一 象 限 ， AB 与 x 轴 平 行 ， ∠AOB=90°，OA=4，OB=3，函数 （x＜0）和 y= （x＞0）的图象分别经过 点A、B，则 =（　　） A． B．﹣ C． D．﹣ 3、（2016深圳）如图，四边形 ABCO是平行四边形，OA=2，AB=6，点 C在 x轴的负 半轴上，将▱ABCO绕点 A逆时针旋转得到▱ADEF，AD经过点O，点 F恰好落在 x轴的正半 轴上，若点D在反比例函数 y= （x＜0）的图象上，则 k的值为　　． 5 第 1 题 第 2 题 第 3题 布置作业 完成导学单中的课后作业 6 课后作业1、如图 1，在平面直角坐标系中，直线AB垂直于 x轴于点C，并分别与直线 y=kx（k≠0）和双曲 线 y= （x＞0）相交于点A、B，且AB=BC，则△OAB的面积为（　　） A．1 B．2 C．4 D． 2、如图 2，已知矩形ABCO的一边OC在 x轴上，一边OA在 y轴上，双曲线 交OB的中 点于D，交BC边于 E，若△OBC的面积等于 4，则CE：BE的值为（　　） ． 1：2 ． 1：3 ． 1：4 ． 无法确定 3、如图 3，Rt△AOB中，∠AOB=90°，AO=3BO，OB在 x轴上，将 Rt△AOB绕点 O顺时针旋 转至△RtA'OB'，其中点 B'落在反比例函数 y=﹣ 的图象上，OA'交反比例函数 y= 的图象于 点C，且OC=2CA'，则 k的值为（　　） A．4 B． C．8 D．7 4、 如图 4，已知△ABO的顶点A和AB边上的点C都在双曲线 y= （x＞ 0）的一 个分支上，点B在 x轴上，CD⊥OB于D，若AC:BC=2:1,△AOC的面积 为 3，则 k的值为_________ 图 1 图 2 图 3 图 4 5、（2013•深圳）如图 1，直线 AB过点 A（m，0），B（0，n），且m+n=20（其中m＞ 0，n＞0）． （1）m=_____，△OAB面积最大,最大值是______. （2）如图 2，在（1）的条件下，函数 的图象与直线 AB相交于 C、D两点，若 ，求 k的值． （3）在（2）的条件下，将△OCD以每秒 1个单位的速度沿 x轴的正方向平移，如图 3，设它与 △OAB的重叠部分面积为 S，请求出 S与运动时间 t（秒）的函数关系式（0＜t＜10）． （八）板书设计 专题——利用相似解决反比例函数问题 7 例 1图（略） 方法总结：（略） 提升演练：（略） 【课后反思】 我们本学期学完了《相似三角形的判定》以及《反比例函数》的内容，相似三角形、反比 例函数都是初中数学学习的重点内容，对学生的能力培养与训练，有着重要的地位。在本次教 学中，主要教学目标是让学生学会向坐标轴作垂线构造相似模型解决反比例函数问题。学习内 容由浅入深，由简到难，整个教学过程进展较为顺利，基本完成了教学任务。 在本节课的教学中，我认为以下这几个方面做得较好：1、问题的设计中从初级问题入手，层层递进，步步加深，让孩子们逐步感受问题的变化， 提高学生的挑战兴趣。2、例 1采用了一题多解，避免了学生思维固化，开拓了学生的思维。 3、直击中考环节是为了让学生感受中考难度、深度，经过改编后采用抽题方式，极大提高 了学生的研究兴趣，并训练了学生的逆向思维。4、思维变式的设计让学生能类比学习并打破A字相似模式，转换思维。 5、提升演练中实现了问题的加深，引导了学生挖掘隐含条件。 本节课尽管在以上几个方面做得较为成功，但仍然有些地方值得商榷。课后，经过教研组 同志的集体评课以及自我反思，认为需要从以下几个方面改进： 1、复习课的形式过于单一，没能更好地提高学生的动手能力。 2、应用 ipad讲评的方式流于形式，没有取得真正的实际意义。 3、在问题的引导、点评中过于草率，没有更针对地发挥点评作用。 4、语言的艺术性、专业性还由待提高，需要更加精炼自己的语言。 5、对学生学情的把握还有所欠缺，问题设计可以更加精炼，这样以便充分提高课堂效率。 总之，本节课的教学任务已基本完成，但站在更高的角度来思考，反映出我还有些急燥， 在课后及联系中，应该把这种题型设计的更有层次以及更有联系性，逐步推进教学，效果可能 会更好。 8